$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}$
### Energietransport:
#### Einzelnes Pendel:
$T = E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2$
$$F_{feder}= k_{feder}x = \sigma_{feder}A$$
$$\frac{\sigma}{E} = \frac{\Delta l}{l}$$
$$E_{el} = \int_{0}^{\Delta l} F_{feder} dx = \int_{0}^{\Delta l} A\sigma dx = \frac{AE}{l}\int_{0}^{\Delta l} (\Delta l) d(\Delta l)= \frac{1}{2} \frac{AE}{l} (\Delta l)^{2} = \frac{1}{2}AlE ( \frac{\Delta l}{l})^2$$
$$E_{tot}= T + E_{el}= \frac{1}{2}mv^{2}+ \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2} mv^{2}+ \frac{1}{2}AlE(\frac{\Delta l}{l})^2$$
#### Welle:
Betrachte: $\xi(x,t) = f(kx\pm\omega t) = f(u)$
(Bemerkung: $f_{skript}(x)=f(\frac{x}{k})$)
$\dede{\xi}{x} = \dede{\xi}{(kx\pm\omega t)} \dede{(kx\pm\omega t)}{x} = \dede{f}{u}k$
$\dede{\xi}{t} = \dede{\xi}{(kx\pm\omega t)} \dede{(kx\pm\omega t)}{t} = \pm\dede{f}{u}\omega$
$dT = \frac{1}{2}dm(\dede{\xi}{t})^{2}= \frac{1}{2}\omega^{2}(\dede{f}{u})^2dm$
$$\dd{T}{V}=\frac{1}{2}\dd{m}{V}(\dede{\xi}{t})^{2}= \frac{1}{2}\rho\omega^{2}(\dede{f}{t})^{2} = \frac{1}{2}\rho v^{2}k^{2}(\dede{f}{u})^{2}$$
Betrachte das $v = \dede{\xi}{t}$ die Schallgeschwindigkeit darstellt
Betrachte zuerst: $\dede{\xi}{x} = \frac{\Delta l}{l}$ (Entsteht aus $\sigma = E_{mod} \dede{\xi}{x}$ und $\frac{\sigma}{E} = \frac{\Delta l}{l}$)
Intuitiv sehen wir das eine steilere Kurve gestreckter sein muss.
$$\frac{dE_{el}}{dV}= \frac{1}{2}E \frac{d(Al=V)}{dV} (\frac{\Delta l}{l})^{2} =\frac{1}{2}E (\frac{\Delta l}{l})^{2} = \frac{1}{2}E (\dede{\xi}{x})^{2}$$
$$\dd{E_{el}}{V} = \frac{1}{2}E(k\dede{f}{u})^{2}$$
Via $v^{2} = \frac{E}{\rho}$
$$\dd{E_{el}}{V} = \frac{1}{2}\rho v^{2}k^{2}(\dede{f}{u})^{2}$$
$$\dd{W}{V} = \dd{E_{el}}{V} + \dd{T}{V} = 2\dd{T}{V} = \rho v^{2}k^{2}\dede{f}{u}^{2}$$
Achtung diese Gleichung gilt nur bei Mechanischen Wellen. Zudem haben wir einen Faktor $k^{2}$ mehr als im Skript, dies ist aufgrund der komischen (nicht einheitenlosen) Wellengleichung im Skript.
Ich hoffe das dies so stimmt. Wenn Ihr Fragen oder Anmerkungen dazu habt, so schreibt mir bitte eine Mail:)
> rzumbrunn@ethz.ch