$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}$
# Spektroskopie
Da Atome (sehr) klein sind, können wir sie (meist) nicht direkt beobachten. Um ihre innere Struktur kennen zu lernen, müssen wir die Energiestruktur verstehen.
Dh. Wir möchten wissen welche Energien das Atom haben kann.
Da Energie zu/von Atomen meist in form von Licht transportiert wird bedeuet dies:
Wir möchten wissen welche Farbe(n) ein Atom hat
## Repetition Photonenenergie:
Ein Photon hat die Energie:
$E_{ph} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}= hc \tilde \nu$
Wir können also direkt von Energie zu Wellenlänge umwandeln
## Balmer Formel
Für das Wasserstoffatom ergibt sich eine einfache Formel für die Emissionslinien:
$$h\nu = hcR_{H}|\frac{1}{n_{f}^{2}}- \frac{1}{n_{i}^{2}}|$$
## Rydberg Formel
Die Rydberg-formel erlaubt uns die Emissionslinien von beliebigen Atomen zu berechnen.
$$h\nu = E_{IE}- \frac{hcR_{A}}{(n-\delta)^{2}}$$
$E_{IE}$: Ionisationsnergie
$n$: die Quantenzahl
$\delta$: Quantendefekt
$R_{A}$: Rydbergkonstante des Atoms
$R_{A}= R_{\infty}\left(1- \frac{m_e}{m_{A}}\right)$
$R_{\infty} = 109737.31568508(65) cm^{−1}$: Rydbergkonstante für $m_{A}\to \infty$
## Das Bohr Modell
Eine mögliche Herleitung des Experimentellen Befundes von Rydberg ist das Bohr model.
Wir postulieren:
- Elektronen sind auf Kreisbahnen um das Atom
- Die Kreisbahnen sind Quantisiert mit $n = 1,2,3,\ldots$
- Nur bei Energieübergang wird Gestrahlt
- Der Drehimpuls ist Quantisiert mit $l_{n}=n\hbar$
Es lässt sich nun die Balmerformel herleiten
Bei Interesse:
$F_{Z} = F_{C}$ (Zentirpetalkraft=Coulomb)
$F_{Z} = \frac{mv^{2}}{r}$
$l = rmv$
$r_{n}= \frac{a_{0}m_{e}n^{2}}{\mu Z}$
$E_{n}= \frac{-hc\mu R_{\infty}Z^{2}}{m_{e}n^{2}}$
$\mu = \frac{m_{e}m_{Z}}{m_{e}+m_{Z}}$
Mit $E_{IE} = \frac{hc\mu R_{\infty}Z^{2}}{m_{e}}$
## Die exakte Lösung:
Für Wasserstoff und Wasserstoffähnliche Atome = Bohr
### Orbitale
Es zeigt sich bei der riggorosen Herleitung, dass wir sogenannte Orbitale erhalten.
Die Orbitale lassen sich per separationsansatz finden:
$\Psi_{H}=\Psi_{H,rad}\cdot \Psi_{H,winkel}$
#### Quantenzahlen
Diese sind charakterisiert durch die Quantenzahlen:
$n$: Hauptquantenzahl
$l$: Nebenquantenzahl
$m$: Magnetquantenzahl
Diese geben an:
- $n$: Die Schale -> s1, s2, s3
- $l$: Die Form -> s,p,d,f
- $m$: Die Richtung -> px,py,pz
Es gibt einige Regeln für erlaubte Quantenzahlen:
$n = 1,2,3,4,\ldots$
$l = 0,1,2, \ldots < n$ ($0=s, 1=p, 2=d$)
$m = -l,\ldots,0,\ldots, l$
$s = \pm \frac{1}{2}$
#### Kernquantenzahlen:
Kernspin: $I= \sum\limits l_{i}+s_{i}$ (summe aus bahnquantenzahl und spin)
#### Beispiel 1:
Für die Hauptquantenzahl $n = 2$ sind die möglichen Orbitale:
- $l = 0$
- $m=0$
- $l=1$
- $m=-1$
- $m= 0$
- $m=1$
- $l = 2$ -> Verboten
# Schbin
Ihr werdet im Verlauf des Semesters sehr oft das Wort Spin gehört haben. Jedoch kann sich laut umfrage niemand intuitiv etwas darunter vorstellen ;)
Spin ist eine Intrinsische Eigenschaft von Quantenmechanischen Punktteilchen. Auf unserem Niveau kann man sich das elementar wie Ladung oder Masse vorstellen.
Tatsächlich zeigt Spin an wie Magnetisch ein Teilchen ist, denn Spin zeigt in Richtung der Magnetisierung.
## Stern-Gerlach-Experiment
Wenn wir Teilchen mit Spin $\neq 0$ durch ein inhomogenes Magnetfeld schiessen, so spalten sich die Teilchen von einander ab, und wir erhalten mehrere verschiedene Resultate. Weil es sich jedoch um ein Quantenphänomen handelt gibt es nur die Quantisierten grössen. (dh. Wir haben keine kontinuierliche Verteilung von spins)
# Termsymbole
Termsymbole sind eine Möglichkeit über elektronenkonfigurationen/energieniveaus zu sprechen. Die Elektronenkonfiguration reicht eben nicht aus, da wir in der Elektronenkonfiguration weder die Verteilung in die Suborbitale (L) noch die Spinbesetzung (S) sehen können.
Dafür interessiert uns der Gesamtspin (Messbar via Stern Gerlach), der elektronische Drehimpuls und der gesamt Drehimpuls.
Eine konkrete Anwendung ist die Kennzeichnung eines spezifischen Übergangs, dies kann zb. für Photokatalyse nützlich sein.
Ich empfehle jedem das [Nist PSE](https://www.nist.gov/system/files/documents/2019/12/10/nist_periodictable_july2019.pdf) auszudrucken, da darauf die Grundzustandstermsymbole gegeben sind.
$S = \sum\limits s$
Im Grundzustand müssen wir nur die äussersten Elektronen betrachten
$L = \sum\limits l$
Im Grundzustand müssen wir nur die äussersten Elektronen betrachten
$J = \begin{cases}S+L & \text{mehr als halb voll} \\ |S-L| & \text{weniger als halb voll} \end{cases}$
Das Termsymbol schreibt sich dann als:
$$^{2S+1}L_J$$
Wobei bei $L$ anstelle der Zahl der Orbitalbuchstabe steht:
## Beispiel 1:
Das Termsymbol von Mangan im Grundzustand:
\[Ar\] 3d5 4s2
## Ionisierte Zustände:
Ionisierte Zustände sind oft einfach zu bestimmen. Wenn das Ion den selben Grundzustand hat wie das um 1u leichtere Atom, kann man einfach dieses Termsymbol abschreiben.
### Beispiel:
$Na^{+}$
Hat Edelgaskonfiguration (alle Valenzschalen voll). Wir könnten daraus selbst schliessen das das Termsymbol $^{1}S_{0}$ ist
### Nicht Beispiel
Das Termsymbol von $\text{Mn}^{2+}$
$\text{Mn}^{2+}$ hat nicht die selbe Elektronenkonfiguration wie $V$, da zuerst die 4s Elektronen entfernt werden. So etwas kann man nicht wissen, und wenn das der Fall an der Prüfung wäre, so ist eine Elektronenkonfiguration gegeben. (Für Mn2+ \[Ar\] 3d5)
# Kernspin:
Achtung dies ist nicht das gleiche Konzept wie Elektronenspin!!!!
Es gibt einige Regeln für erlaubte Quantenzahlen:
$n = 1,2,3,4,\ldots$
$l = 0,1,2, \ldots < n$ ($0=s, 1=p, 2=d$)
$m = -l,\ldots,0,\ldots, l$
$s = \pm \frac{1}{2}$
#### Kernquantenzahlen:
Kernspin: $I= \sum\limits l_{i}+s_{i}$ (summe aus bahnquantenzahl und spin)
#### Beispiel 1:
Für die Hauptquantenzahl $n = 2$ sind die möglichen Orbitale:
- $l = 0$
- $m=0$
- $l=1$
- $m=-1$
- $m= 0$
- $m=1$
- $l = 2$ -> Verboten
# Schbin
Ihr werdet im Verlauf des Semesters sehr oft das Wort Spin gehört haben. Jedoch kann sich laut umfrage niemand intuitiv etwas darunter vorstellen ;)
Spin ist eine Intrinsische Eigenschaft von Quantenmechanischen Punktteilchen. Auf unserem Niveau kann man sich das elementar wie Ladung oder Masse vorstellen.
Tatsächlich zeigt Spin an wie Magnetisch ein Teilchen ist, denn Spin zeigt in Richtung der Magnetisierung.
## Stern-Gerlach-Experiment
Wenn wir Teilchen mit Spin $\neq 0$ durch ein inhomogenes Magnetfeld schiessen, so spalten sich die Teilchen von einander ab, und wir erhalten mehrere verschiedene Resultate. Weil es sich jedoch um ein Quantenphänomen handelt gibt es nur die Quantisierten grössen. (dh. Wir haben keine kontinuierliche Verteilung von spins)
# Termsymbole
Termsymbole sind eine Möglichkeit über elektronenkonfigurationen/energieniveaus zu sprechen. Die Elektronenkonfiguration reicht eben nicht aus, da wir in der Elektronenkonfiguration weder die Verteilung in die Suborbitale (L) noch die Spinbesetzung (S) sehen können.
Dafür interessiert uns der Gesamtspin (Messbar via Stern Gerlach), der elektronische Drehimpuls und der gesamt Drehimpuls.
Eine konkrete Anwendung ist die Kennzeichnung eines spezifischen Übergangs, dies kann zb. für Photokatalyse nützlich sein.
Ich empfehle jedem das [Nist PSE](https://www.nist.gov/system/files/documents/2019/12/10/nist_periodictable_july2019.pdf) auszudrucken, da darauf die Grundzustandstermsymbole gegeben sind.
$S = \sum\limits s$
Im Grundzustand müssen wir nur die äussersten Elektronen betrachten
$L = \sum\limits l$
Im Grundzustand müssen wir nur die äussersten Elektronen betrachten
$J = \begin{cases}S+L & \text{mehr als halb voll} \\ |S-L| & \text{weniger als halb voll} \end{cases}$
Das Termsymbol schreibt sich dann als:
$$^{2S+1}L_J$$
Wobei bei $L$ anstelle der Zahl der Orbitalbuchstabe steht:
## Beispiel 1:
Das Termsymbol von Mangan im Grundzustand:
\[Ar\] 3d5 4s2
## Ionisierte Zustände:
Ionisierte Zustände sind oft einfach zu bestimmen. Wenn das Ion den selben Grundzustand hat wie das um 1u leichtere Atom, kann man einfach dieses Termsymbol abschreiben.
### Beispiel:
$Na^{+}$
Hat Edelgaskonfiguration (alle Valenzschalen voll). Wir könnten daraus selbst schliessen das das Termsymbol $^{1}S_{0}$ ist
### Nicht Beispiel
Das Termsymbol von $\text{Mn}^{2+}$
$\text{Mn}^{2+}$ hat nicht die selbe Elektronenkonfiguration wie $V$, da zuerst die 4s Elektronen entfernt werden. So etwas kann man nicht wissen, und wenn das der Fall an der Prüfung wäre, so ist eine Elektronenkonfiguration gegeben. (Für Mn2+ \[Ar\] 3d5)
# Kernspin:
Achtung dies ist nicht das gleiche Konzept wie Elektronenspin!!!!
