$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}$
# Why Units?
- Vermeiden von Fehlern
- Punkte farmen durch "bis auf Konstante" korrekte Lösungen
- Weiterrechnen wenn Aufgabe vorher schwierieg.
- Eselsbrücken für Formeln
# Theorie
Was "darf" man mit Masseinheiten:
## Einheitsanalyse
Umformen der Masseinheiten erlaubt uns zu sehen, ob eine Herleitung stimmen kann. Manchmal ergibt sich auch eine Intuition
### Einheits Gateways:
$F=ma$
$P = Wt$
$E = Ux$
Erlauben das Umformen von Basiseinheiten in andere.
### Fehleranalyse Bsp:
Bei einer Rechnung zur Bestimmung der Halbwerts*zeit* erhalten wir das Resultat:
$$t_\frac{1}{2}= s^{-1}$$
Was ist ein potentieller Fehler?
### Bsp 2:
In QM erhalten wir für die 1D Wellenfunktion $\Psi$ einheitenlosigkeit. Kann das sein? Betrachte $\int_{a}^{b}|\Psi|^{2} dx = P$
## Erlaubte operationen
+, -: nur gleiche Einheit
-> Geliche Einheit raus
$\cdot,\frac{\square}{\square},\sqrt \square$: 'Beliebige' Einheit
-> "verrechnete" Einheit raus
$\log, e^{\square}, \sin(\square), \cos(\square), \tan(\square), etc$: Keine Einheit
-> Keine Einheit raus
Warum ist das nützlich?
Wenn wir Ausdrücke finden, wo wir Einheitenverbot haben, und trotzdem Einheiten haben, dann haben wir ein Problem
### Quick questions:
#### Q1
Welches Statement ist nonsense?
$A = \textrm{Fläche}$
$V = \textrm{Volumen}$
$c = \textrm{Lichtgeschwindigkeit}$
$\rho = \textrm{Dichte}$
$m = \textrm{Masse}$
$x = \textrm{Distanz}$
$t = \textrm{Zeit}$
- $e^{\rho \frac{V}{m}}+ c = 0$
- Nonsense, da $e^{\square}$ einheitslos, und $c$ nicht
- $\sin(\rho \frac{V}{m} + e^{\frac{xA}{V}})+ \sqrt{\frac{c}{t}}\sqrt{x} = 0$
- $c = \frac{\rho}{m}x^{2} \frac{A}{s}$
- $c^c$
- Nonsense, da c nicht einheitslos
### Rayleigh Methode:
- Suche alle gegebenen Variabeln
- Stelle die Gleichung auf:
- $F=KR_{1}^{a}R_{2}^{b}R_{3}^{c}\ldots$
- Löse mithilfe von Einheitenregeln für $a,b,c$
- Wenn lösbar ist das Resultat dann korrekt bis auf Konstante
### Beispiel:
(aus der Physik)
Das Federpendel:
Gegeben $m,k,g$
Gesucht $T$
Einheiten: $kg, \frac{N}{m}, \frac{m}{s^{2}}, s = kg, \frac{kg}{s^{2}}, \frac{m}{s^{2}},s$
Wir sehen, das wenn wir ein Resultat in $s$ haben wollen, und wir keine Weiteren Grössen/Konstanten einführen wollen kann $T$ nicht mit $g$ im Zusammenhang stehen
Also ist $T=\sqrt\frac{m}{k}$