$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}$
# Was ist eine Welle?
## Beispiele:
- Wasserwelle
- Schallwelle
- Licht
- Teilchen?!
## Charakterisierung:
Eine Welle ist eine sich fortbewegende Störung/Auslenkung in einer physikalischen Grösse.
Eigenschaften:
- Superposition
- Huygensches Prinzip
- Beugung
- Brechung
Wir können Wellen am besten mit lokalen Pendeln betrachten
TODO: Skizze
## Mathematik einer Welle:
Wellen erfüllen die Differentialgleichung:
$$\dede{^{2}}{x^{2}}f = \frac{1}{c^{2}}\dede{^{2}}{t^{2}}f$$
In 3D
$$\dede{^{2}}{x^{2}} f + \dede{^{2}}{y^{2}}f + \dede{^{2}}{z^{2}}f = \frac{1}{c^{2}}\dede{^{2}}{t^{2}}f$$
### Wie verstehen wir diese Gleichung? *
Links steht eine zweifache Ableitung nach dem Ort.
Wir haben gelernt, dass die einfache Ableitung eine Steigung ist, und die zweifache Ableitung eine Krümmung.
Rechts steht eine zweifache Ableitung nach der Zeit.
Wir könnten das jetzt auch als Krümmung in der Zeit interpretieren, das hat jedoch intuitiv wenig Bedeutung.
Wir erinnern uns also daran, dass wir immer analoge Systeme betrachten dürfen.
Das letzte mal wo wir eine zweifache Ableitung in der Zeit gesehen haben war die Beschleunigung!
$\implies$ Die **Krümmung** von $f$ ist also proportional zur **Beschleunigung** von $f$
Wichtig ist hier, das die Beschleunigung rechtwinklig zur tatsächlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit ist.
### Monochromatische Wellen
Es zeigt sich, dass eine sehr nützliche Familie von Lösungen die Monochromatischen Wellen sind:
$f = f_{0}\cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t)$
Wobei gilt:
- $f_{0}$: ist die Amplitude (maximale Auslenkung)
- $\vec k$ ist der Wellenvektor, und zeigt die Ausbreitungsrichtung an
- $\omega$ ist Kreisfrequenz
Interessant hier ist, dass im 1D Fall $k$ etwa $\omega$ entspricht, und $x$ etwa $t$ entspricht
#### Charakteristische Zahlen
Die Wellengeschwindigkeit ist hier das Bindeglied:
$\lambda * \nu= c$
Die Wellenlänge mal die Anzahl Wellenlängen pro Sekunde = meter/sekunde = c
#### Ort/Zeitdomäne*
$f= f_{0}\cos(kx - \omega t)$$
- Betrachte $x = 0$ das heist, wir betrachten die Welle am Ursprung des Koordinatensystems
- $f = f_{0}\cos(-\omega t)$
- $\omega$ sagt wie schnell $f$ in der Zeit schwingt
- $T = \frac{2\pi}{\omega}$ Die Periode. Wie lange dauert eine Schwinung
- Betrachte nun $t = 0$ das heist, wir betrachten ein Foto der Welle bei der Zeit 0
- $f = f_{0}\cos(kx)$
- $k$ sagt wie schnell $f$ im Ort schwingt
- $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ Die Wellenlänge. Wie lange (im Ort) ist eine Schwingung
$T$ und $\lambda$ korrespondieren also zueinander
# Elektromagnetische Wellen
Es stellt sich raus, das Licht auch eine Welle ist, diese Welle nennen wir Elektromagnetische Welle.
Sie gehorcht den Gleichungen:
$\vec E = \vec E_{0}\cos(\vec k \cdot \vec x - \omega t)$
$\vec B = \vec B_{0}\cos(\vec k \cdot \vec x - \omega t)$
mit $|\vec E_{0}| = |c_{0}\vec B_0|$
und $\vec E_{0} \bot \vec B_{0}$
Wichtig ist, das diese Gleichungen nur für EM Wellen, nicht jedoch für EM Felder im allgemeinen gelten.
## Der Photoelektrische Effekt
Zu beginn der Entwicklung der Quantenmechanik wurde eine Wichtige Beobachtung gemacht.
Es gibt eine minimale Frequenz, bei welcher Licht genügend Energie hat, um ein Elektron aus einer Metalplatte herauszulösen.
### Warum ist das speziell?
Wenn Licht eine Welle im Klassischen sinne ist, so kann ich die Energie der Welle auf zwei Arten vergrössern:
- Grössere Frequenz
- Grössere Amplitude
Experimente zeigen jedoch, das bei zu kleiner Frequenz selbst eine grosse vergrösserung der Amplitude keine Rolle spielt!
Wir lernen daraus, das Licht quantisiert ist. Das heist es gibt lichtteilchen, sogenannte Photonen.
### Wie Photonen die Beobachtung erklären
Wir postulieren, das das herauslösen eines Elektrons durch ein einziges Photon erreicht wird.
Angenommen wir nutzen Photonen, welche nicht genügend Energie haben.
Egal wie viele Photonen ich schicke, kein einziges hat genügend Energie um ein Elektron rauszulösen.
Es lohnt sich anzumerken, das viele Photonen = grosse Amplitude sind.
### Photonenenenergie
Das Experiment zeigt:
$E_{ph} = h\nu = \hbar \omega$
### Austritsarbeit
Ein Elektron, welches am Metal 'festgeklebt' ist braucht eine Energie $E_{A}$ (Austritsarbeit) um weggerissen zu werden.
Wenn ein Elektron von einem Photon herausgerissen wird, das mehr als $E_{A}$ Energie hat, so wird der Rest der Energie in Kinetische Energie (Bewegung) umgewandelt.
Es gilt also:
$E_{kin}=E_{A}-E_{ph}$
$$\frac{1}{2}mv^{2}= E_{A}- h\nu$$
### Photonenimpuls
Ihr kennt die Definition vom Impuls $p = mv$
Jetzt ist es etwas überraschend, das Photonen (mit $m=0$) auch Impuls haben.
Dieses Verhalten ist aber bereits aus der klassischen Welt bekannt.
Eine Welle im Meer bewegt insgesamt kein Wasser (sonst wäre am Ende des Tages der Strand überflutet), trotzdem hat die Welle die Kraft (den Impuls) jemanden umzustossen.
Licht verhält sich hier vollständig Analog.
Der Photonenimpuls beträgt:
$$|\vec p_{ph}| = \frac{h}{\lambda}$$
# Welle- Teilchen Dualismus
Wenn Licht, welches wir ursprünglich nur als Welle kannten ein Teilchen ist, dann ist es ja auch vorstellbar, das Teilchen auch Wellen sind.
Dies ist die Vermutung von Louis De-Broglie. Er postulierte, dass ein Teilchen mit Impuls $\vec p$ eine Wellenlänge von $\lambda_{B}= \frac{h}{|\vec p|}$ hat.
Mithilfe dieser Wellenlänge generalisieren sich fast alle Prinzipien die wir von Licht kennen (Beugung und Brechung) auch auf Teilchen.
Die Wellengeschwindigkeit ist hier das Bindeglied:
$\lambda * \nu= c$
Die Wellenlänge mal die Anzahl Wellenlängen pro Sekunde = meter/sekunde = c
#### Ort/Zeitdomäne*
$f= f_{0}\cos(kx - \omega t)$$
- Betrachte $x = 0$ das heist, wir betrachten die Welle am Ursprung des Koordinatensystems
- $f = f_{0}\cos(-\omega t)$
- $\omega$ sagt wie schnell $f$ in der Zeit schwingt
- $T = \frac{2\pi}{\omega}$ Die Periode. Wie lange dauert eine Schwinung
- Betrachte nun $t = 0$ das heist, wir betrachten ein Foto der Welle bei der Zeit 0
- $f = f_{0}\cos(kx)$
- $k$ sagt wie schnell $f$ im Ort schwingt
- $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ Die Wellenlänge. Wie lange (im Ort) ist eine Schwingung
$T$ und $\lambda$ korrespondieren also zueinander
# Elektromagnetische Wellen
Es stellt sich raus, das Licht auch eine Welle ist, diese Welle nennen wir Elektromagnetische Welle.
Sie gehorcht den Gleichungen:
$\vec E = \vec E_{0}\cos(\vec k \cdot \vec x - \omega t)$
$\vec B = \vec B_{0}\cos(\vec k \cdot \vec x - \omega t)$
mit $|\vec E_{0}| = |c_{0}\vec B_0|$
und $\vec E_{0} \bot \vec B_{0}$
Wichtig ist, das diese Gleichungen nur für EM Wellen, nicht jedoch für EM Felder im allgemeinen gelten.
## Der Photoelektrische Effekt
Zu beginn der Entwicklung der Quantenmechanik wurde eine Wichtige Beobachtung gemacht.
Es gibt eine minimale Frequenz, bei welcher Licht genügend Energie hat, um ein Elektron aus einer Metalplatte herauszulösen.
### Warum ist das speziell?
Wenn Licht eine Welle im Klassischen sinne ist, so kann ich die Energie der Welle auf zwei Arten vergrössern:
- Grössere Frequenz
- Grössere Amplitude
Experimente zeigen jedoch, das bei zu kleiner Frequenz selbst eine grosse vergrösserung der Amplitude keine Rolle spielt!
Wir lernen daraus, das Licht quantisiert ist. Das heist es gibt lichtteilchen, sogenannte Photonen.
### Wie Photonen die Beobachtung erklären
Wir postulieren, das das herauslösen eines Elektrons durch ein einziges Photon erreicht wird.
Angenommen wir nutzen Photonen, welche nicht genügend Energie haben.
Egal wie viele Photonen ich schicke, kein einziges hat genügend Energie um ein Elektron rauszulösen.
Es lohnt sich anzumerken, das viele Photonen = grosse Amplitude sind.
### Photonenenenergie
Das Experiment zeigt:
$E_{ph} = h\nu = \hbar \omega$
### Austritsarbeit
Ein Elektron, welches am Metal 'festgeklebt' ist braucht eine Energie $E_{A}$ (Austritsarbeit) um weggerissen zu werden.
Wenn ein Elektron von einem Photon herausgerissen wird, das mehr als $E_{A}$ Energie hat, so wird der Rest der Energie in Kinetische Energie (Bewegung) umgewandelt.
Es gilt also:
$E_{kin}=E_{A}-E_{ph}$
$$\frac{1}{2}mv^{2}= E_{A}- h\nu$$
### Photonenimpuls
Ihr kennt die Definition vom Impuls $p = mv$
Jetzt ist es etwas überraschend, das Photonen (mit $m=0$) auch Impuls haben.
Dieses Verhalten ist aber bereits aus der klassischen Welt bekannt.
Eine Welle im Meer bewegt insgesamt kein Wasser (sonst wäre am Ende des Tages der Strand überflutet), trotzdem hat die Welle die Kraft (den Impuls) jemanden umzustossen.
Licht verhält sich hier vollständig Analog.
Der Photonenimpuls beträgt:
$$|\vec p_{ph}| = \frac{h}{\lambda}$$
# Welle- Teilchen Dualismus
Wenn Licht, welches wir ursprünglich nur als Welle kannten ein Teilchen ist, dann ist es ja auch vorstellbar, das Teilchen auch Wellen sind.
Dies ist die Vermutung von Louis De-Broglie. Er postulierte, dass ein Teilchen mit Impuls $\vec p$ eine Wellenlänge von $\lambda_{B}= \frac{h}{|\vec p|}$ hat.
Mithilfe dieser Wellenlänge generalisieren sich fast alle Prinzipien die wir von Licht kennen (Beugung und Brechung) auch auf Teilchen.