$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}$
# Lektion
## Nachbesprechung der Übung:
### Schwierigkeiten
- Achtung Text gut lesen: Manchmal wird die Konjugierte Base hinzugefügt (siehe 1. ii)
- Vorsicht bei Formeln aus VL kopieren, diese haben manchmal die Falschen Vernachlässigungen
- Vorsicht mit “standard Formeln” (oft ist dann unklar welche Vernachlässigung gemacht wurde)
- Lerne unbedingt vereinfachen. (An der Prüfung eine Kubische Gleichung lösen -> Keine Zeit!)
### Take home
- Aufstellen und vereinfachen von einfachen pH Systemen (Graphisch oder Rechnerisch)
- Verstehen von Grenzen der gelernten Vorgehensweisen.
## Puffer:
Betrachte $K_{a}= \ce{\frac{[H+][A-]}{[HA]}}$
$pK_{a}=\ce{p([H+]) + p(\frac{[A-]}{[HA]})}$
$\ce{pK_{a} = pH - \log \frac{[A-]}{[HA]}}$
$pH = pK_{a}+ \log\frac{[A^{-}]}{[HA]}$
Wir sehen $pH$ ist in der Nähe des $pK_{a}$ so lange $\log \frac{[A^{-}]}{[HA]}\approx 0$
Wann ist dies der Fall?
$|\log(x)| < 1$
$10^{|\log(x)|} < 10$
für $x > 1$ gilt $log(x) > 0$
$\implies x < 10$
für $x< 1$ gilt $log(x)<0$
$\implies 10^{-log(x)}< 10$
$\implies \frac{1}{x}< 10$
$\implies x > 0.1$
Wenn wir also nicht mehr als einen $pH$ abweichen möchten, so müssen wir sicherstellen das unser Verhältnis von $\frac{[A^{-}]}{[HA]}$ zwischen $0.1 \textrm{ und } 10$ liegt.
Frage: Wie viel $A^{-}$ kann ich zu $HA$ umsetzen um in diesen Grenzen zu bleiben? (Säure puffern)
löse: $\ce{\frac{[A-]—x}{[HA]+x}}=0.1$
Für puffer bei pH setzen wir $[A^{-}] = [HA]$
$0.1 = \frac{\frac{[A_{tot}]}{2}-x}{\frac{[A_{tot}]}{2}+x}$
$x = 0.41 [A_{tot}]$
Frage: Wie viel $HA$ kann ich zu $A^{-}$ umsetzen und in den Grenzen bleiben? (Base puffern)
löse: $\ce{\frac{[A-] + x}{[HA]-x}}=10$
$x = 0.41[A_{tot}]$
Wir können also etwas weniger als die Hälfte unseres gesamten $A$ sowohl als Säure als auch als Base puffern.
Wichtig zu bemerken ist das Vervielfachung von $[A^{-}]$ und $[HA]$ zum gleichen Verhältnis führt. Wir können also den Puffer beliebig “verstärken”!
## Repetition Sillén Diagramm
### Konstruktion und Auswertung
Vorgehen Konstruktion:
1) Zeichne alle $pKa$ als vertikale Linie
2) Zeichne $\log[A_{tot}]$ als horizontale Linie (Nutze verschiedene Farben zwischen den $pKa$)
3) Zeichne $45^{\circ}$ Linien in den entsprechenden Farben von den $pKa$ bis zum nächsten $pKa$. Ziehe bei Bedarf die Linie mit Steigung 2, 3, etc weiter bei jedem $pKa$
Auswertung pH:
1) Suche relevante Region. (Sauer/Basisch/welche Seite vom $pKa$)
2) In relevanter Region suche Linien die immer mit Abstand $\geq 1$ “gedeckt” werden
3) Falls bereits nur 3 Linien, suche Schnittpunkt -> Profit
4) Falls Linien zu nahe beieinander führe Linienaddition durch
Linienaddition (funktioniert nur bei Parallelen):
Sind zwei Linien zu nahe beieinander/ sogar aufeinander?
1) Suche einen beliebigen $pH$
2) Berechne die Summe der beiden $\log conc$
3) Nimm den Logarhytmus
4) Addiere dies auf die Untere Linie
5) Ziehe eine neue Konstruktionslinie durch diesen Punkt
6) Die Alten Linien können nun vergessen werden
### Mathematische Grundlagen
Wir betrachten als Beispiel das Carbonatanion $CO^{2-}_{3}$ mit pKa = $6.35, 10.33$
$\alpha_{0} = \frac{K_{1}K_{2}}{[H^{+}]^{2}+ K_{1}[H+] + K_{2}K_{1}}$
$\log(\alpha) = \log([A^{2-}])– \log([A_{tot}])$
Insb. gillt:
$\log(\alpha) + \log([A_{tot}]) = \log([A^{2-}])$
Es reicht also für uns den Verlauf von $\log(\alpha)$ zu betrachten und den Verlauf am Schluss um $\log([A_{tot}])$ zu verschieben.
- Bemerke das für $\alpha = 1 \implies \log\alpha = 0$
- Dies bedeutet bei vollständiger Dissozation ist $log[A_{tot}]=log[A^{2-}]$
- Dies erklärt die Position der horizontalen Linien
Wir betrachten $\log \alpha = \log(K_{1}K_{2}) - \log ([H+]^{2} + K_{1}[H+] + K_{1}K_{2})$
Keep in mind das wir hier mit den dimensionslosen Aktivitäten arbeiten.
- Fall 1: $[H+] > K_{1}$
- Da $pK_{1}< pK_{2}$ gilt $K_{1}> K_{2}$
- $\frac{K_{1}}{[H+]} \approx 0$
- Betrachte $[H+]^{2}\frac{[H+]^{2}+K_{1}[H+] +K_{1}K_{2}}{[H+]^{2}}= [H+]^{2}(1 + \frac{K_{1}}{[H+]}+ \frac{K_{1}K_{2}}{[H+]^{2}}) \approx [H+]^{2}$
- Dh.
- $\log\alpha \approx \log(K_{1}K_{2}) - \log([H+]^{2}) = \log(K_{1}K_{2}) + 2 pH$
- $[A^{2-}] \approx (\log[A_{tot}] - pK_{1}-pK_{2}) + 2\cdot pH$
- Kurve mit Steigung 2
- Fall 2: $K_{2} < [H+] < K_{1}$
- $\frac{[H+]}{K_{1}}\approx 0$
- $\frac{K_{2}}{[H+]}\approx 0$
- Betrachte $K_{1}[H+]\frac{[H+]^{2}+ K_{1}[H+] + K_{1}K_{2}}{K_{1}[H+]}= K_{1}[H+] (\frac{[H+]}{K_{1}} + 1 + \frac{K_{2}}{[H+]})\approx K_{1}[H+]$
- $\log\alpha \approx = -pK_{1}-pK_{2}-pH+pK_{1} = -pK_{2}+pH$
- $\log[A^{2-}] \approx (-pK_{2}+log[A_{tot}]) + pH$
- Fall 3: Analog
## Vorbesprechung Serie
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