#### B: Amplitude an jedem Ort (für die gesamte Messperiode)
Physikalisch bedeutet dies, dass ich z.B. eine Boje im Wasser habe, und die Höhe der Boje gegen die Zeit auftrage
Wir bemerken, das bei positiver Ausbreitungsgeschwindigkeit sich die Achsen umkehren.
Dies kommt davon, dass wir zuerst das vordere ende der Welle sehen, und “zuerst” in unserem Zeitdiagramm links ist.
Wir möchten also eine Funktion mit einer bestimmten Form mit einer gewissen Geschwindigkeit verschieben.
#### Repetition Verschiebung von Funktionen
#### Die Lösung der Allgemeinen (dispersionslosen) Wellengleichung
Wir beginnen mit einem Schnappschuss der Welle:
$\xi(x,t=0)$
z.B. mit $\xi(x, t=0)= A\sin(kx)$ (wir brauchen $k$ um die Einheit von $x$ wegzubekommen)
$\sin(\alpha)$ ist $2\pi$ periodisch. d.h. $\alpha = kx = 2\pi$ ist die Bedingung für eine __räumliche__ periode aka. eine Wellenlänge
$x = \frac{2\pi}{k} = \lambda$ ist also eine Wellenlänge
Möchten wir nun diese Funktion mit der Geschwindigkeit $v$ nach rechts verschieben können wir betrachten das $v = \frac{\lambda}{T}$ (Eine Wellenlänge pro Periode)
Wie wir vorher betrachtet haben, eine Verschiebung der Funktion nach rechts, entspricht dem “früher starten” also der Subtraktion im Argument
$\xi(x,t) = A\sin(k(x-v\cdot t))$
$\xi(x,t) = A\sin(kx-kv\cdot t))$
$kv = k \frac{\lambda}{T} = \frac{2\pi}{T} = \omega$
$\xi(x,t) = A\sin(kx-\omega t))$
Das selbe nun noch für die Welle die nach links geht.
Aus der Tatsache das Welle + Welle = Welle (superpositionsprinzip) gilt dann
$\xi (x,t) = f(kx-\omega t) + g(kx + \omega t)$
Wobei $f$ die form der rechtsbewegten Welle ist, und $g$ die Form der Welle die nach links geht
### Die Harmonische Welle & Das Superpositionsprinzip
Def Harmonische Welle
$$\xi(x,t) = \xi_{0}\sin(kx \pm \omega t)$$
Harmonische Welle (komplexe Schreibweise)
$$\xi(x,t) = \xi_{0} e^{i(kx \pm \omega t)}$$
Hier wird immer implizit der Realteil verwendet
Dazu sind folgende Identitäten nützlich
Insb gilt
$e^{\pm i\phi} = cos(\phi) \pm i\sin(\phi)$
Superposition: $Welle + Welle = Welle$
Fakt: Jede “schöne” Funktion kann als Summe/(Integral) von harmonischen Funktionen geschrieben werden.
Experiment: PhyPhox
1) Betrachte das Frequenzspektrum einer Sinuswelle
2) Betrachte das Frequenzspektrum eines Pulses
### Intuition für Physikalische Wellen
Da Wellen prinzipiell aus 2 Teilen bestehen
1) Schwinger
2) Kopplung
Und die Wellenfront sich wohl etwa so schnell wie die Energie ausbreiten muss (wäre ja komisch wenn wir eine Wellenfront ohne Energie oder vice-versa hätten)
Können wir uns überlegen wie sich 1 und 2 auf die Wellengeschwindigkeit auswirken:
1) Je träger der Schwinger, je langsamer nimmt er Energie auf -> Kleinere Wellengeschwindigkeit
2) Je stärker gekoppelt die Schwinger, je schneller wird Energie übertragen -> Grösser die Geschwindigkeit
#### Anwendung
Schall in Helium vs Schall in Luft
Luft ist dichter -> träger als Helium
-> Schallgeschwindigkeit in Luft ist kleiner
Bei konstanter Wellenlänge (das Stimmband und der Resonnanzkörper haben sich nicht geändert)
gilt: $v = f\lambda$
$f = \frac{v}{\lambda}$
Dh. je grösser die Geschwindigkeit -> je höher die Frequenz
In Helium ist der Schall schneller -> Wir hören höhere Frequenzen
##### Verständnisfrage 1
Wo ist der Schall schneller?
- In einem gespannten Seil
- In einem schlaffen Seil
##### Verständnisfrage 2
Wo ist eine Walstimme höher?
- Am Meeresboden
- Knapp under der Oberfläche
- Lässt sich so nicht sagen
##### Verständnisfrage 3
Licht ist eine Elektromagnetische Welle. In einem Material muss zusätzlich zum Feld, auch noch Ladung beschleunigt werden. Was lässt sich über die Geschwindigkeit in Materialien sagen?
- Das Licht ist schneller im Medium
- Das Licht ist langsamer im Medium
## MC
### Q1:
Was ist die generellste Lösung der Wellengleichung?
**a)** $F(x,t) = f(kx-\omega t) + g(kx+\omega t)$
**b)** $F(x,t) = A\sin(kx-\omega t) + B\cos(kx-\omega t)$
**c)** $F(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)} + Be^{i(kx+\omega t)}$
**d)** $F(x,t) = f(kx) + g(\omega t)$
### Q2
Was ist die Einheit der (Zug)-Spannung
**a)** Pascal
**b)** Newton
**c)** Newton/Meter
**d)** Sekunden
### Q3
Welche der Folgenden Gleichungen ist Nonsense?
$A$ eine Fläche
$F$ eine Kraft
$\epsilon$ die relative Verlängerung
$\sigma$ die Zugspannung
- $f= e^{\epsilon * A/ F}$
- $f = sin(\omega *t - \epsilon)$
- $f = \sigma^\epsilon$
- $f = A +\varepsilon A$
## Bonus Material
Inhalt:
- Definition Welle: Ausbreitung einer Störung $$\Delta \xi = \divby{c^2}\dede{\xi}{t}$$
- Lösung der 1D Wellengleichung $$\xi(x,t)=f(x\pm vt)$$
- Definition Harmonische Welle $$\xi(x,t) = \xi_{0}\sin(kx \pm vt)$$
- Nutzen harmonische Welle: Jede (schöne) Funktion kann als Superposition von harmonischen Wellen gesehen werden.
- Superpositionsprinzip
- Wellenzahl, Kreisfrequenz, Frequenz
- $k = \frac{2\pi}{\lambda}$
- $v = \frac{\omega}{k}$
- $T = \frac{2\pi}{\omega}$
- $f = \divby{T}$
- Exponentialschreibweise:
- $\xi(x,t) = \xi_{0}e^{i(kx\pm \omega t)}$ (davon Realteil)
- Herleitung allgemeine Lösung in 1D (s10, ds14)
- Longitudinal/Transversal
- Seilwellen: $$v = \pm \sqrt{\frac{S}{\rho}}$$
- Grosse Zugkraft $\implies$ schnelle Schallgeschwindigkeit
- Je dichter $\implies$ langsamere Schallgeschwindigkeit
- Elastizität:
- reversibel bis Elastizitätsgrenze
- Zäh vs Spröde:
- Zäh $\implies$ plastische Verformung
- Spröde $\implies$ Riss bzw. Bruch
- relative Verlängerung (Verlängerung in (Anteilen) des Materials bei einer gewissen Spannung)
- $\varepsilon_{l}= \frac{\Delta l}{l} = \frac{\sigma}{E}$ (Hooke)
- Festkörperwellen:
- $v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$