Hier bitte aufpassen mit:
- Speziellen Winkeln (45, 90, etc.)
- Additionstheoreme
- $cosh^{2}-sinh^{2}=1$
- "Fancy trig" (Sinussatz, etc)
#### Bonus: Motivation Hyperbolische Geometrie
### Zugsparadoxon
## Repe Curl
$\int_{\partial A} G = \int_{A} rot G$
Idee: Ich markiere alle meine (mathematisch positiven) Wirbelchen mit einem Vektor
## Righthand Rules
### Kräfte
Die Lorentzkraft ist die Kraft eines EM Feldes auf eine bewegte Ladung
$\vec F_{L} = q \vec E + q \vec v \times \vec B$
Oft interessieren wir uns nicht nur für Punktladungen, sondern für Ströme:
$q\vec v = q \frac{d\vec x}{dt} = l\lambda \frac{d \vec x}{dt} = l \frac{dq}{dx} \frac{d\vec x}{dt}= \hat x l \frac{dq}{dt} =\vec l I$
Biot Savard Gesetz
$\vec F = I\vec l \times \vec B$
### Felder
Analog zum Gauss Gesetz, gibt es auch für das $B$ Feld ein Integralgesetz.
Den Satz von Stokes
$\int_{\partial A} B ds = \mu_{0} I_{eing} + magic = \int_{A} \mu_{0} J dA + magic$
$\nabla \times B = \mu_{0} J + magic$
Dazu einige wichtige Daumenregeln (XD)
Wichtig ist hier, dass wir immer positive Ladungsträger betrachten. (So wie auch im Strom)
## Das Feld - Biot Savard
Wir erinnern uns an die Elektrostatik:
$\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{Q}{r^{2}} \hat r$
Wir haben dann dieses Gesetz auf kontinuierliche Ladungsverteilugen umgemünzt
$\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{V} \frac{\rho(x')}{r(x')^{2}} \hat r(x') d^{3}x'$
Wir haben quasi das Gaussgesetz für jeden kleinen Ladungspunkt angeschaut, und dann darüber integriert.
Analog können wir das auch für den Strom, und das dazugehörige $B$ Feld machen.
$\vec B = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int_{V} \frac{J(x') \times\hat r(x')}{r(x')^{2}} d^{3}x'$
Wir können dies jedoch nur für die Stromverteilung machen, da wir keine Punktströme bauen können (Kontinuitätsgleichung)
Dieses Gesetz ist das Biot-Savard Gesetz, und erlaubt uns analog zum Gaussgesetz ein $B$-Feld aus seinen Quellen (dem Strom) zu bauen.
## Magnetische Effekte
### Hall Effekt
## Energiedichte (und mehr RHR)
Die Energiedichte des EM Feldes kann berechnet werden via $\rho_{E}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0} E^{2} + \frac{1}{2\mu_{0}}B^{2}$
Wir sehen das die Energiedichte quadratisch mit den Feldern Steigt. Da das Universum immer Niedrige Energiezustände Anstrebt können wir raten, dass sich Systeme jeweils so ändern, dass die Felder Verkleinert werden.
Anders gesagt, Gleiche Feldlinien Stossen sich ab, entgegengesetzte ziehen sich an.
### Kräfte zwischen Leitern
### Faraday Gesetz
Die Änderung des Magnetischen Flusses durch eine Geschlossene Fläche führt zu einer induzierten Spannung.
Beachte das $\Phi_{B}$ sowohl durch eine Änderung von $B$,$A$ und $\theta$ beinflusst wird.
Die Induzierte Spannung ist immer so, dass der Änderung des Flusses entgegengewirkt wird.
## Das Vektorpotential
Wenn wir ein analog zum Gaussgesetz haben, dann können wir wahrscheinlich das selbe auch mit dem Potential tun.
Leider ist die Analogie hier nicht so simpel, denn im gegensatz zum Elektrischen Feld ist das B-Feld nicht Rotationsfrei.
(Noch schlimmer, es ist sogar divergenzfrei) (Also gerade umgekert zum E-Feld)
Wir tauschen also $div$ zu $rot$ und hoffen aufs beste
-> Vektorpotential
$\nabla \cdot \phi = \vec E$
$\nabla \times \vec A = \vec B$
Dooferweise ist das Vektorpotential auch ein Vektorfeld (in 2D wärs einfacher gewesen)
### Was ist ein Potential
Im Elektrischen Feld war die Idee, dass wir die Relativektoren aus dem Spiel nehmen wollten, wir wollte nur noch eine distanzabhängige Grösse, welche uns unser System definiert.
Wir haben dann das Potential genutzt um aus unserer Ladungsverteilung das Feld per Integration/Summation aufzubauen.
Der $d\phi$ Term wirkt also quasi wie ein Stempel, welchen ich für jede Ladung auf den Raum Auftragen kann.
Insbesondere 'informiere' ich die nähere Umgebung der Ladung über ihre Anwesenheit, ich übertrage die Information über das Problem von meiner Ladungsverteilung auf den Raum. Die Ladungsdichte wird "verschmiert" und ergibt mir mein Potential
#### Vektorpotential
Für das $B$ Feld möchten wir etwas ähnliches finden. Insb möchten wir aus dem Integral diesen mühsamen $J \times \hat r$ Term entfernen.
Wir fragen uns also, ob wir durch "verschmieren" der Ströme eine ähnliche Vereinfachung erhalten können.
Das Vektorpotential ist Analog zum Elektrischen Potential aufgebaut
$d\vec A = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{\vec J}{r} dV$
Wir haben hier (wie in $\phi$) die Vektorielle Abhängigkeit von $r$ entfernt. Leider sind die Ströme selbst auch Vektoriel, wodurch wir im $\vec A$ weiterhin vektoriel sind. Trotzdem haben wir ein wichtiges Ziel erreicht, wir haben erneut die Information über die Ströme über auf den Raum übertragen.
Ein kleines Detail bleibt noch. Das Elektrische Potential war nur bis auf eine Konstante definiert $\phi \to \phi + C$
Dies war so, weil der Gradient einer Konstante Verschwindet. $\nabla (\phi + C)= \nabla \phi$
Analog kann ich auf das $\vec A$ Feld jedes Rotationsfreie Feld hinzufügen. $\nabla \times (\vec A + \vec C) = \nabla \times \vec A$
Diese Freiheit nennt man Eichfreiheit, und diese wird noch in Zukunft relevant.
## Transformation der Felder
$E_{\parallel}'=E_{\parallel}$
$B_{\parallel}'=B_{\parallel}$
$E_{\perp}'=\gamma(E_{\perp} + c\beta \times B_{\perp})$
$B_{\perp}'=\gamma(B_{\perp} - \frac{1}{c}\beta \times E_{\perp})$
Felder lassen sich via ihre dipole (heisst Leiterschlaufe für $B$ und Dipol für $E$) darstellen. Die Transformation dieser Hilfspole gibt uns die Transformation des Feldes. Es ist zu beachten, das wenn wir Boosten, das Ruhesystem in umgekehrter Richtung auf uns zukommt
### Detail (Bonus)
Wir transformieren die Dipole und betrachten separat die Erzeugten $E$ und $B$ Felder. Am schluss addieren wir alle Komponenten.
## MC
### Q1: Welche Zugehörigkeit ist falsch?
- $\rho$ & $i$
- $E$ &$A$
- $rot(A)$ & $grad E$
- $rot(A)$ & $grad (\phi_E)$
### Q2:
Ich möchte gerne meine Batterie im Orbit um die Sonne aufladen. Welche richtung sollte der Orbit haben? (Annahme die Ladungsträger sind negativ)
- Gegenuhrzeigersinn
- Uhrzeigersinn
- Oben durch
- Unten durch
### Q3 Doppler:
- Der akustische Dopplereffekt ist gleich, ob ich oder der Sender sich bewegt
- Der optische Dopplereffekt ist gleich, ob ich oder der Sender sich bewegt.
- Warum?
### Q4: Ich fahre mit meinem Auto mit relativistischer Geschwindigkeit auf eine rote Ampel zu, was sehe ich?
- Eine rote Ampel
- Eine grüne Ampel
- Eine lange Kreuzung
- Eine kurze Kreuzung
- Eine breite Kreuzung
- Eine dünne Kreuzung
### Q5: Wie bewegt sich das Elektron?
### Q6: Eignschaften der Felder
- Das Potential ist ein Skalarfeld
- Das Vektorpotential ist ein Vektorfeld
- Die Divergenz des Potentials ist das E Feld
- Die Rotation des Vektorpotentials ist das B Feld
### Q7: Minovsky
Welches Gedankenexperiment sieht man hier?
- Zwillings Paradox
- Einstein Lichtuhr
- Grossvater Paradox
- Scheunenparadox