$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}
\newcommand{\konko}[2]{^{#1}\space_{#2}}
\newcommand{\kokon}[2]{_{#1}\space^{#2}} $
## Motivation
Diese Woche habt ihr gelernt:
- Induktionsgesetz (Lenz Regel)
- 3. Maxwellgleichung $\nabla \times E = -\dede{B}{t}$
- Gegenseitige Induktivität
- Selbstinduktivität
Wir schauen uns zusätzlich noch an:
- Komplexe wechselstromrechnung
## Repe Relativität:
### Transformation der Felder
(CGS system)
$E_{\parallel}'=E_{\parallel}$
$B_{\parallel}'=B_{\parallel}$
$E_{\perp}'=\gamma(E_{\perp} + c\beta \times B_{\perp})$
$B_{\perp}'=\gamma(B_{\perp} - \frac{1}{c}\beta \times E_{\perp})$
Felder lassen sich via ihre dipole (heisst Leiterschlaufe für $B$ und Dipol für $E$) darstellen. Die Transformation dieser Hilfspole gibt uns die Transformation des Feldes. Es ist zu beachten, das wenn wir Boosten, das Ruhesystem in umgekehrter Richtung auf uns zukommt
#### Detail
Wir transformieren die Dipole und betrachten separat die Erzeugten $E$ und $B$ Felder. Am schluss addieren wir alle Komponenten.
Andere Richtung
## Induktion:
Wir haben in der VL die 3. MGl gesehen:
$\nabla \times E = -\dede{B}{t}$
Durch integrieren über eine Fläche erhalten wir:
$\int_{\partial A} \vec E d\vec s= -\dede{}{t}\int_{A}\vec B d\vec A = -\dede{\Phi_B}{t}$
In Worten: Das E-Feld entlang einer geschlossenen Fläche entspricht der negativen Änderung des B-Flusses durch diese Fläche.
### Was ist eine Fläche?
Wir sehen zu jedem Rand (Leiter) können wir eine Vielzahl an Flächen zuordnen.
Dies ist ein Grosser Vorteil, denn wir können:
**a)** Geeignete Flächen für uns wählen
**b)** Einige Flüsse Gleichsetzen (wie bei Gauss, als wir grössere Kugeln gemacht haben.)
### Anwendungen der Induktion
Oft ist das direkte rechnen der Induktion unnötig. Insb, wenn wir schaltkreise anschauen.
Wir haben deshalb eine vorgerechnete Grösse, die sogenannte *Induktivität*
Die Induktivität besteht aus dem Verhältnis und der Konfiguration des Induzierenden Leiters (Sender) und des induzierten Leiters (Empfänger).
Dies ist vollkommen analog zur Kapazität eines Kondensators, welche wir auch einmal vorgerechnet haben, und dann immer als $C$ verwendeten.
#### Induktivität
$\mathcal{E}_{21} = -M_{21}\dd{I_{1}}{t}$
Die Induktivität sagt wie viel Spannung in 2 durch Stromveränderung in 1 induziert wird
(Lies: Induktivität auf 2 von 1)
#### Selbstinduktivität *
Was ist wenn ein Strom im Leiter 1 eine spannung im selben Leiter aufbaut?
$M_{11}= L$
Intuitives Verhalten:
Ich verändere den Strom. Z.B schalte ich eine Spule an. Die Spule führ zu einer gewissen "Trägheit", da die veränderung des Stromes (das anschalten) per eine induzierte Gegenspannung gebremst wird.
Das selbe gilt beim Abschalten. Der strom "möchte" noch gerne weiterfliessen.
#### Energie in Spulen
Ganz analog zum Kondensator:
$E_{L} = \frac{1}{2}LI^{2}$ -> Mehr strom = mehr energie
$E_{C}=\frac{1}{2}C U^{2}$ -> Mehr spannung = mehr energie
### RLC
R = Reibung (Dissipiert Energie prop zu Strom = Geschwindigkeit)
I = Geschwindigkeit
U = Auslenkung
C = K (Speichert energie prop zu Spannung = Auslenkung)
L = 1/m (Speichert energie prop zu Strom = Geschwindigkeit)
Was sich zu merken lohnt:
$\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}}$
(Weitere Infos zur Analogie: Siehe "Go with the flow" im Exsikkator "Fluss")
[Exsikkator](https://vcs.ethz.ch/wp-content/uploads/2024/04/Fluss_Exsi_Mai2024_main_compressed.pdf)
### Lösen von DGL's
1) Welche Form?
1) Direkt intbar ($\ddot x = k$, etc)
1) Integrieren
2) Separierbar? ($\dd{x}{y} = y$)
1) Separationsansatz und Integration
3) Linear? ($a \ddot x + b \dot x + c = k$)
1) Homgene lösen via Euleransatz
2) Inhomogene lösen via ausprobieren, oder variation der Konstanten (achtung Produktregel)
### Getriebene Systeme
Homogenes syst (ohne treibung) lösen.
Dann partikulärlösung finden
### Alte Prüfungsaufgabe
Stromfaden FS 11 A5
Gegeben sei ein dünner Stromfaden endlicher Leitfähigkeit $\sigma$ von $L$ bi $-L$Links geerdet, rechts auf einem Potential von $V_{0}$
**a)** Berechnen sie das Potential im innern. Nutzen Sie die Laplace Gleichung
**b)** Berechnen sie die Feldstärke
**c)** Berechnen sie die Stromdichte
**d)** Berechnen Sie das Vektorpotential für j gegeben bei grossen abständen
**a)** Potential in 1D betrachten.
$\Delta V = \partial^{2}_{z} V = 0$
Doppelt integrieren
$V = z C_{1}+C_{2}$
RWP:
$V_{0}= LC_{1}+C_{2}$
$0 = -LC_{1} +C_{2}$
$V_{0}+ 0 = 2C_{2}$
$C_{2} = \frac{1}{2} V_{0}$
$C_{1}= \frac{1}{2} \frac{V_{0}}{L}$
$V = \frac{zV_{0}}{2L} + \frac{V_{0}}{2}$
**b)**
$E = \nabla \phi$
$E_{z}= \partial_{z}\phi = \frac{V_{0}}{2L}$
**c)**
$j = \sigma E$
**d)**
$\vec A(x) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_\mathbb{R^{3}}\frac{\vec i}{|x-y|}dy$
$y = 0,0,z'$
$x = x,y,z$
$|x-y| = \sqrt{r^{2}+(z-z')^{2}} = \sqrt{r^{2}+z^{2}+z'^{2}-2zz'}$
$A(r) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\vec i\int_{[-L,L]}\frac{1}{\sqrt{r^{2}+z^{2} + z'^{2}-2z z'}}dz'$
$A(r) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\vec i ln(|2z' + (-2z) + 2\sqrt{z'^{2}+r^{2} - 2zz' + z^{2}})|_{-L}^{L}$
## Repe? Das Vektorpotential
Wenn wir ein analog zum Gaussgesetz haben, dann können wir wahrscheinlich das selbe auch mit dem Potential tun.
Leider ist die Analogie hier nicht so simpel, denn im gegensatz zum Elektrischen Feld ist das B-Feld nicht Rotationsfrei.
(Noch schlimmer, es ist sogar divergenzfrei) (Also gerade umgekert zum E-Feld)
Wir tauschen also $div$ zu $rot$ und hoffen aufs beste
-> Vektorpotential
$\nabla \cdot \phi = \vec E$
$\nabla \times \vec A = \vec B$
Dooferweise ist das Vektorpotential auch ein Vektorfeld (in 2D wärs einfacher gewesen)
### Was ist ein Potential
Im Elektrischen Feld war die Idee, dass wir die Relativektoren aus dem Spiel nehmen wollten, wir wollte nur noch eine distanzabhängige Grösse, welche uns unser System definiert.
Wir haben dann das Potential genutzt um aus unserer Ladungsverteilung das Feld per Integration/Summation aufzubauen.
Der $d\phi$ Term wirkt also quasi wie ein Stempel, welchen ich für jede Ladung auf den Raum Auftragen kann.
Insbesondere 'informiere' ich die nähere Umgebung der Ladung über ihre Anwesenheit, ich übertrage die Information über das Problem von meiner Ladungsverteilung auf den Raum. Die Ladungsdichte wird "verschmiert" und ergibt mir mein Potential
#### Vektorpotential
Für das $B$ Feld möchten wir etwas ähnliches finden. Insb möchten wir aus dem Integral diesen mühsamen $J \times \hat r$ Term entfernen.
Wir fragen uns also, ob wir durch "verschmieren" der Ströme eine ähnliche Vereinfachung erhalten können.
Das Vektorpotential ist Analog zum Elektrischen Potential aufgebaut
$d\vec A = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{\vec J}{r} dV$
Wir haben hier (wie in $\phi$) die Vektorielle Abhängigkeit von $r$ entfernt. Leider sind die Ströme selbst auch Vektoriel, wodurch wir im $\vec A$ weiterhin vektoriel sind. Trotzdem haben wir ein wichtiges Ziel erreicht, wir haben erneut die Information über die Ströme über auf den Raum übertragen.
Ein kleines Detail bleibt noch. Das Elektrische Potential war nur bis auf eine Konstante definiert $\phi \to \phi + C$
Dies war so, weil der Gradient einer Konstante Verschwindet. $\nabla (\phi + C)= \nabla \phi$
Analog kann ich auf das $\vec A$ Feld jedes Rotationsfreie Feld hinzufügen. $\nabla \times (\vec A + \vec C) = \nabla \times \vec A$
Diese Freiheit nennt man Eichfreiheit, und diese wird noch in Zukunft relevant.
## MC
### EPT
Andere Richtung
## Induktion:
Wir haben in der VL die 3. MGl gesehen:
$\nabla \times E = -\dede{B}{t}$
Durch integrieren über eine Fläche erhalten wir:
$\int_{\partial A} \vec E d\vec s= -\dede{}{t}\int_{A}\vec B d\vec A = -\dede{\Phi_B}{t}$
In Worten: Das E-Feld entlang einer geschlossenen Fläche entspricht der negativen Änderung des B-Flusses durch diese Fläche.
### Was ist eine Fläche?
Wir sehen zu jedem Rand (Leiter) können wir eine Vielzahl an Flächen zuordnen.
Dies ist ein Grosser Vorteil, denn wir können:
**a)** Geeignete Flächen für uns wählen
**b)** Einige Flüsse Gleichsetzen (wie bei Gauss, als wir grössere Kugeln gemacht haben.)
### Anwendungen der Induktion
Oft ist das direkte rechnen der Induktion unnötig. Insb, wenn wir schaltkreise anschauen.
Wir haben deshalb eine vorgerechnete Grösse, die sogenannte *Induktivität*
Die Induktivität besteht aus dem Verhältnis und der Konfiguration des Induzierenden Leiters (Sender) und des induzierten Leiters (Empfänger).
Dies ist vollkommen analog zur Kapazität eines Kondensators, welche wir auch einmal vorgerechnet haben, und dann immer als $C$ verwendeten.
#### Induktivität
$\mathcal{E}_{21} = -M_{21}\dd{I_{1}}{t}$
Die Induktivität sagt wie viel Spannung in 2 durch Stromveränderung in 1 induziert wird
(Lies: Induktivität auf 2 von 1)
#### Selbstinduktivität *
Was ist wenn ein Strom im Leiter 1 eine spannung im selben Leiter aufbaut?
$M_{11}= L$
Intuitives Verhalten:
Ich verändere den Strom. Z.B schalte ich eine Spule an. Die Spule führ zu einer gewissen "Trägheit", da die veränderung des Stromes (das anschalten) per eine induzierte Gegenspannung gebremst wird.
Das selbe gilt beim Abschalten. Der strom "möchte" noch gerne weiterfliessen.
#### Energie in Spulen
Ganz analog zum Kondensator:
$E_{L} = \frac{1}{2}LI^{2}$ -> Mehr strom = mehr energie
$E_{C}=\frac{1}{2}C U^{2}$ -> Mehr spannung = mehr energie
### RLC
R = Reibung (Dissipiert Energie prop zu Strom = Geschwindigkeit)
I = Geschwindigkeit
U = Auslenkung
C = K (Speichert energie prop zu Spannung = Auslenkung)
L = 1/m (Speichert energie prop zu Strom = Geschwindigkeit)
Was sich zu merken lohnt:
$\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}}$
(Weitere Infos zur Analogie: Siehe "Go with the flow" im Exsikkator "Fluss")
[Exsikkator](https://vcs.ethz.ch/wp-content/uploads/2024/04/Fluss_Exsi_Mai2024_main_compressed.pdf)
### Lösen von DGL's
1) Welche Form?
1) Direkt intbar ($\ddot x = k$, etc)
1) Integrieren
2) Separierbar? ($\dd{x}{y} = y$)
1) Separationsansatz und Integration
3) Linear? ($a \ddot x + b \dot x + c = k$)
1) Homgene lösen via Euleransatz
2) Inhomogene lösen via ausprobieren, oder variation der Konstanten (achtung Produktregel)
### Getriebene Systeme
Homogenes syst (ohne treibung) lösen.
Dann partikulärlösung finden
### Alte Prüfungsaufgabe
Stromfaden FS 11 A5
Gegeben sei ein dünner Stromfaden endlicher Leitfähigkeit $\sigma$ von $L$ bi $-L$Links geerdet, rechts auf einem Potential von $V_{0}$
**a)** Berechnen sie das Potential im innern. Nutzen Sie die Laplace Gleichung
**b)** Berechnen sie die Feldstärke
**c)** Berechnen sie die Stromdichte
**d)** Berechnen Sie das Vektorpotential für j gegeben bei grossen abständen
**a)** Potential in 1D betrachten.
$\Delta V = \partial^{2}_{z} V = 0$
Doppelt integrieren
$V = z C_{1}+C_{2}$
RWP:
$V_{0}= LC_{1}+C_{2}$
$0 = -LC_{1} +C_{2}$
$V_{0}+ 0 = 2C_{2}$
$C_{2} = \frac{1}{2} V_{0}$
$C_{1}= \frac{1}{2} \frac{V_{0}}{L}$
$V = \frac{zV_{0}}{2L} + \frac{V_{0}}{2}$
**b)**
$E = \nabla \phi$
$E_{z}= \partial_{z}\phi = \frac{V_{0}}{2L}$
**c)**
$j = \sigma E$
**d)**
$\vec A(x) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_\mathbb{R^{3}}\frac{\vec i}{|x-y|}dy$
$y = 0,0,z'$
$x = x,y,z$
$|x-y| = \sqrt{r^{2}+(z-z')^{2}} = \sqrt{r^{2}+z^{2}+z'^{2}-2zz'}$
$A(r) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\vec i\int_{[-L,L]}\frac{1}{\sqrt{r^{2}+z^{2} + z'^{2}-2z z'}}dz'$
$A(r) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\vec i ln(|2z' + (-2z) + 2\sqrt{z'^{2}+r^{2} - 2zz' + z^{2}})|_{-L}^{L}$
## Repe? Das Vektorpotential
Wenn wir ein analog zum Gaussgesetz haben, dann können wir wahrscheinlich das selbe auch mit dem Potential tun.
Leider ist die Analogie hier nicht so simpel, denn im gegensatz zum Elektrischen Feld ist das B-Feld nicht Rotationsfrei.
(Noch schlimmer, es ist sogar divergenzfrei) (Also gerade umgekert zum E-Feld)
Wir tauschen also $div$ zu $rot$ und hoffen aufs beste
-> Vektorpotential
$\nabla \cdot \phi = \vec E$
$\nabla \times \vec A = \vec B$
Dooferweise ist das Vektorpotential auch ein Vektorfeld (in 2D wärs einfacher gewesen)
### Was ist ein Potential
Im Elektrischen Feld war die Idee, dass wir die Relativektoren aus dem Spiel nehmen wollten, wir wollte nur noch eine distanzabhängige Grösse, welche uns unser System definiert.
Wir haben dann das Potential genutzt um aus unserer Ladungsverteilung das Feld per Integration/Summation aufzubauen.
Der $d\phi$ Term wirkt also quasi wie ein Stempel, welchen ich für jede Ladung auf den Raum Auftragen kann.
Insbesondere 'informiere' ich die nähere Umgebung der Ladung über ihre Anwesenheit, ich übertrage die Information über das Problem von meiner Ladungsverteilung auf den Raum. Die Ladungsdichte wird "verschmiert" und ergibt mir mein Potential
#### Vektorpotential
Für das $B$ Feld möchten wir etwas ähnliches finden. Insb möchten wir aus dem Integral diesen mühsamen $J \times \hat r$ Term entfernen.
Wir fragen uns also, ob wir durch "verschmieren" der Ströme eine ähnliche Vereinfachung erhalten können.
Das Vektorpotential ist Analog zum Elektrischen Potential aufgebaut
$d\vec A = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{\vec J}{r} dV$
Wir haben hier (wie in $\phi$) die Vektorielle Abhängigkeit von $r$ entfernt. Leider sind die Ströme selbst auch Vektoriel, wodurch wir im $\vec A$ weiterhin vektoriel sind. Trotzdem haben wir ein wichtiges Ziel erreicht, wir haben erneut die Information über die Ströme über auf den Raum übertragen.
Ein kleines Detail bleibt noch. Das Elektrische Potential war nur bis auf eine Konstante definiert $\phi \to \phi + C$
Dies war so, weil der Gradient einer Konstante Verschwindet. $\nabla (\phi + C)= \nabla \phi$
Analog kann ich auf das $\vec A$ Feld jedes Rotationsfreie Feld hinzufügen. $\nabla \times (\vec A + \vec C) = \nabla \times \vec A$
Diese Freiheit nennt man Eichfreiheit, und diese wird noch in Zukunft relevant.
## MC
### EPT
