$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}
\newcommand{\konko}[2]{^{#1}\space_{#2}}
\newcommand{\kokon}[2]{_{#1}\space^{#2}} $
## Motivation
- Verteilung von Starkstrom
- Handy Netzteil (mit wenig Verlust)
- Was sind elektromagnetische Wellen?
- Die Maxwell Gleichungen
## Recap Unterricht
### Komplexe Wechselstromrechnung
Wenn wir Systeme betrachten, welche ein (erwartet) periodisches Verhalten haben, dann lohnt es sich teilweise das System komplex zu rechnen.
Motivation:
$e^{i\omega t}$ ist periodisch in $t$
Wir setzen die komplexe Spannung an: $\tilde V = V_{0}e^{i\omega t}$
Dazu nehmen wir noch den komplexen Strom: $\tilde I = I_{0}e^{i\omega t + \alpha}$
mit $\alpha$ der Phasenverschiebung.
Warum ist das nützlich?
-> Komplexer Wiederstand = Impedanz $Z$
In einer Komplexen Zahl können wir zwei Dinge gleichzeitig speichern:
- Die Magnitude des Wertes, und die (Periodische) Zeitabhängigkeit
Die Impedanz kann dann nicht nur Stromstärke und Spannungsstärke ins Verhältnis bringen, sondern auch die jeweilige Zeitabhängigkeit!
Komplexes URI
$\tilde V = Z \tilde I$
Komplexer Kirchhof:
Die Impedanz verhält sich wie ein Wiederstand:
- Addition wenn seriell
- Inverse addition wenn parallel
Anwendungsbeispiel:
### Zeigerdiagramme
Wir haben ja $\tilde V$ und $\tilde I$ als $V_{0}e^{i \omega t}$ angesetzt. Wenn wir das in der komplexen Ebene betrachten, dann sehen wir, dass sich diese "Zeiger" im Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung drehen.
Mit einem Winkel $\alpha$ zwischen dem $I$ und $V$ Zeiger.
#### Leistungen bei komplexer Rechnung
Die sinnvollere Grösse ist die Scheinleistung:
$\tilde S = \frac{1}{2}\tilde U \tilde I^{\star}= \frac{1}{2}U_{0}I_{0}e^{i\alpha} = \frac{1}{2}S e^{i\alpha} = \frac{S}{2} \cos(\alpha) + \frac{iS}{2} \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(P + iQ)$
Mit $P$ der Wirkleistung
und $Q$ der Blindleistung
Die Wirkleistung ist wie viel Watt mein System verbraucht
Die Blindleistung ist wie viel Watt mein System temporär zwischenspeichert
Die Scheinleistung ist wie viel Watt mein System gerade braucht (Wirk und Blindleistung) ($S= \sqrt{P^{2}+ Q^{2}}$)
##### Bsp:
#### Verwirrungsgefahr:
- Momentanleistung $\neq$ Durschnittliche Leistung
- Wirk $\neq$ Schein $\neq$ Blindleistung
- $\frac{U_{0}}{\sqrt{2}} = U_{eff}$
### Transformator
Wechselstrom (windung 1)-> Wechsel B-Feld ->(windung 2) Wechsel-Spannung -> Wechsel-Strom
$\frac{V_{p}}{V_{s}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}$
**Motivation:**
Primärspule:
Viele Wicklungen in Primärspule -> Hohes L -> Langsamere Aufladung -> Langsameres $\dd{B}{t}$ -> Kleine EMK
In Sekundärspule:
Veränderung des Fluss ist da no matter what. Jede Umrundung mit einer Schleiffe gibt einmal $\mathcal{E}$. Die Windungen sind Seriell, addieren sich also
Viele Windungen in Sekundärspule -> Hohe EMK
### Verschiebungsstrom (aka Magic)
Wir kennen bereits:
Ampere Gesetz:
$\nabla \times B = \mu_{0}J (+ magic)$
Ladungserhaltung:
$\nabla \cdot J = -\dede{\rho}{t}$
Dies ist jedoch unvollständig, denn betrachte:
$0 = \nabla \cdot (\nabla \times B)$ (Divergenz einer Rotation ist null (siehe Linalg oder Analysis II))
$0 = \nabla \cdot \mu_{0}J$
$0 = -\mu_{0} \dede{\rho}{t}$
Dh. die veränderung der Ladungsdichte ist immer null.
Wir kennen aber das Phänomen der Influenz, bei welcher ein Potential eine Ladungsdichte-verschiebung induziert.
Dh. $E \implies \rho$
Also: $\dede{E}{t} \implies \dede{\rho}{t}$
Also hat $\nabla \times B$ noch eine Versteckte "Feldkomponente" (magic)
$\nabla \times B = \mu_{0}(J + J_{V})= \mu_{0}(J + \varepsilon_{0}\dede{E}{t})$
B-Felder werden erzeugt durch Ladungsströme, oder "Feldströme".
Ein klassisches Beispiel ist der Kondensator
### MGl
1) Die Quellen des E-Feldes ist die Ladungsdichte
2) Das B-Feld hat keine Quellen
3) Elektrische Energie entlang einer geschlossenen Schleife kommt von Induktion ($\dede{\Phi_B}{t}$)
5) B-Feld entlang einer Schleife kommt von Strom und änderung des Feldes. (Elektromagnet und Magic)
6) Quelle des Stromes sind veränderte Ladungsdichten
### Es werde licht!
Ihr habt in der Vorlesung die Folgende Form der MGL im Ladungsfreien Raum gesehen:
Wir sind im freien Raum
$\nabla \cdot E = 0$
$\nabla \cdot B = 0$
$\nabla \times E = -\dede{B}{t}$
$\nabla \times B = \mu_{0}\varepsilon_{0}\dede{E}{t}$ (Bemerke das dies nur wegen "magic" geht)
Wir sehen hier eine Art Rückkopplung von B -> E -> B -> ...
Mit viel Mathe ergibt sich dann:
$\Delta E - \varepsilon_{0}\mu_{0}\dede{^{2}E}{t^{2}} =0$
Diese Gleichung sollte euch bekannt vorkommen:
$\Delta f - \frac{1}{v^{2}}\dede{^{2}f}{t^{2}} = 0$
Das ist die Wellengleichung!!!
zudem bemerken wir $v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}$
$\varepsilon_{0} \approx 8.9 \cdot 10^{−12} F/m$
$\mu_{0} \approx 1.3\cdot 10^{−6} N/A^{2}$
$\varepsilon_{0}\mu_{0}\approx 11.6 \cdot 10^{-18}$
$\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}} \approx 3.4 \cdot 10^{-9}$
$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} \approx 2.9 \cdot 10^{9} \frac{m}{s} \approx c$
Wir haben also eine Welle, die sich so schnell ausbreitet wie Licht 🧐....
Es stellt sich heraus, das dies nicht irgendeine Welle ist. Wir haben gerade Licht hergeleitet!
### Umfrage
[Umfrage](https://forms.gle/WMbcgqUhjAaXFLs58)
## MC
Es werden im Internet Stromspargeräte verkauft, die man lediglich in irgendeine Steckdose einstecken muss. Ist dies ein Scam? Gibt es potentiell einen Funken Wahrheit?
Für die meisten Anwendungen ist das Gerät tatsächlich ein Scam, aber....
Angenommen unser gesamtes Haus hat sehr viele Induktive Lasten (Herdplatten, Glühbirnen, etc.) dann kann es dazu kommen, dass unser Haus eine signifikannte Phasenverschiebung $\alpha$ auf den Strom gibt.
$P = \frac{1}{2}S \cos \alpha$
Wenn wir jetzt von unserem Stromverkäufer nach Scheinleistung und nicht nach Wirkleistung berechnet werden (was oft der Fall ist, da die Scheinleistung die Leistung ist, die das Kraftwerk aufbringen muss) dann könnte im Worst case $\alpha = \frac{\pi}{2}$ unser Haus keine Leistung annehmen, aber trotzdem dafür zahlen müssen!!!
Wir können also durch Parallelschaltung einer Spule versuchen diesen Phasenfaktor zu reduzieren (Impedance matching), und dadurch mehr effektive Leistung zu erhalten.
(Aber es ist mostly ein scam..)
### Zeigerdiagramme
Wir haben ja $\tilde V$ und $\tilde I$ als $V_{0}e^{i \omega t}$ angesetzt. Wenn wir das in der komplexen Ebene betrachten, dann sehen wir, dass sich diese "Zeiger" im Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung drehen.
Mit einem Winkel $\alpha$ zwischen dem $I$ und $V$ Zeiger.
#### Leistungen bei komplexer Rechnung
Die sinnvollere Grösse ist die Scheinleistung:
$\tilde S = \frac{1}{2}\tilde U \tilde I^{\star}= \frac{1}{2}U_{0}I_{0}e^{i\alpha} = \frac{1}{2}S e^{i\alpha} = \frac{S}{2} \cos(\alpha) + \frac{iS}{2} \sin(\alpha) = \frac{1}{2}(P + iQ)$
Mit $P$ der Wirkleistung
und $Q$ der Blindleistung
Die Wirkleistung ist wie viel Watt mein System verbraucht
Die Blindleistung ist wie viel Watt mein System temporär zwischenspeichert
Die Scheinleistung ist wie viel Watt mein System gerade braucht (Wirk und Blindleistung) ($S= \sqrt{P^{2}+ Q^{2}}$)
##### Bsp:
#### Verwirrungsgefahr:
- Momentanleistung $\neq$ Durschnittliche Leistung
- Wirk $\neq$ Schein $\neq$ Blindleistung
- $\frac{U_{0}}{\sqrt{2}} = U_{eff}$
### Transformator
Wechselstrom (windung 1)-> Wechsel B-Feld ->(windung 2) Wechsel-Spannung -> Wechsel-Strom
$\frac{V_{p}}{V_{s}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}$
**Motivation:**
Primärspule:
Viele Wicklungen in Primärspule -> Hohes L -> Langsamere Aufladung -> Langsameres $\dd{B}{t}$ -> Kleine EMK
In Sekundärspule:
Veränderung des Fluss ist da no matter what. Jede Umrundung mit einer Schleiffe gibt einmal $\mathcal{E}$. Die Windungen sind Seriell, addieren sich also
Viele Windungen in Sekundärspule -> Hohe EMK
### Verschiebungsstrom (aka Magic)
Wir kennen bereits:
Ampere Gesetz:
$\nabla \times B = \mu_{0}J (+ magic)$
Ladungserhaltung:
$\nabla \cdot J = -\dede{\rho}{t}$
Dies ist jedoch unvollständig, denn betrachte:
$0 = \nabla \cdot (\nabla \times B)$ (Divergenz einer Rotation ist null (siehe Linalg oder Analysis II))
$0 = \nabla \cdot \mu_{0}J$
$0 = -\mu_{0} \dede{\rho}{t}$
Dh. die veränderung der Ladungsdichte ist immer null.
Wir kennen aber das Phänomen der Influenz, bei welcher ein Potential eine Ladungsdichte-verschiebung induziert.
Dh. $E \implies \rho$
Also: $\dede{E}{t} \implies \dede{\rho}{t}$
Also hat $\nabla \times B$ noch eine Versteckte "Feldkomponente" (magic)
$\nabla \times B = \mu_{0}(J + J_{V})= \mu_{0}(J + \varepsilon_{0}\dede{E}{t})$
B-Felder werden erzeugt durch Ladungsströme, oder "Feldströme".
Ein klassisches Beispiel ist der Kondensator
### MGl
1) Die Quellen des E-Feldes ist die Ladungsdichte
2) Das B-Feld hat keine Quellen
3) Elektrische Energie entlang einer geschlossenen Schleife kommt von Induktion ($\dede{\Phi_B}{t}$)
5) B-Feld entlang einer Schleife kommt von Strom und änderung des Feldes. (Elektromagnet und Magic)
6) Quelle des Stromes sind veränderte Ladungsdichten
### Es werde licht!
Ihr habt in der Vorlesung die Folgende Form der MGL im Ladungsfreien Raum gesehen:
Wir sind im freien Raum
$\nabla \cdot E = 0$
$\nabla \cdot B = 0$
$\nabla \times E = -\dede{B}{t}$
$\nabla \times B = \mu_{0}\varepsilon_{0}\dede{E}{t}$ (Bemerke das dies nur wegen "magic" geht)
Wir sehen hier eine Art Rückkopplung von B -> E -> B -> ...
Mit viel Mathe ergibt sich dann:
$\Delta E - \varepsilon_{0}\mu_{0}\dede{^{2}E}{t^{2}} =0$
Diese Gleichung sollte euch bekannt vorkommen:
$\Delta f - \frac{1}{v^{2}}\dede{^{2}f}{t^{2}} = 0$
Das ist die Wellengleichung!!!
zudem bemerken wir $v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}$
$\varepsilon_{0} \approx 8.9 \cdot 10^{−12} F/m$
$\mu_{0} \approx 1.3\cdot 10^{−6} N/A^{2}$
$\varepsilon_{0}\mu_{0}\approx 11.6 \cdot 10^{-18}$
$\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}} \approx 3.4 \cdot 10^{-9}$
$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} \approx 2.9 \cdot 10^{9} \frac{m}{s} \approx c$
Wir haben also eine Welle, die sich so schnell ausbreitet wie Licht 🧐....
Es stellt sich heraus, das dies nicht irgendeine Welle ist. Wir haben gerade Licht hergeleitet!
### Umfrage
[Umfrage](https://forms.gle/WMbcgqUhjAaXFLs58)
## MC
Es werden im Internet Stromspargeräte verkauft, die man lediglich in irgendeine Steckdose einstecken muss. Ist dies ein Scam? Gibt es potentiell einen Funken Wahrheit?