$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}
\newcommand{\konko}[2]{^{#1}\space_{#2}}
\newcommand{\kokon}[2]{_{#1}\space^{#2}} $
## Motivation
Diese Woche habt ihr gelernt:
- Was die Lorentz Kontraktion und die Zeitdillatation sind
- Warum wir Myonen auf der Erde sehen
- Wie wir die Perspektive (relativistisch) wechseln können.
## Repetition Unterricht
### Postulate Relativität
1) $c$ ist universell
2) Inertialssteme sind äquivalent
=> Gleichzeitigkeit ist relativ
=> Längen sind relativ
### Konzeptanker:
In der Relativitätstheorie sprechen interessieren wir uns für:
- Events (Ereignisse)
- Referenzsysteme
- Distanzen/ Zeiten gesehen von einer anderen Person
- Distanzen/ Zeiten die ich bei einer anderen Person sehe
Der Grossteil der Verwirrung in SR kommt davon, dass:
**a)** Nicht klar ist, welchen Masstab wir verwenden?
**b)** Auf welches system wir den Masstab anwenden
### Zeitdillatation
### Lorentz kontraktion
### Merksätze:
- $\gamma \geq 1$
- Im eigenen System ist die Länge eines Objekts Maximal
- Im eigenen System vergeht die Zeit am schnellsten.
### Minkovsky Diagramm
Intuition für Relativität
[Geogebra](https://www.geogebra.org/m/s7xsubde)
[Intuition Video](https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=Rh0pYtQG5wI) (Must Watch!)
Eigenschaften:
- Der $\arctan$ der Steigung einer Kurve ist $v$ (Run / Rise)
- $45^{\circ}$ Linien entsprechen Licht
- Horizontale Linien sind “Gleichzeitigkeiten”. Dh. Alles was auf einer Horizontalen Linie sitzt finded (Für mich!!!) gleichzeitig statt.
- Vertikale Linien sind Orte. Dh. Alles was auf einer Vertikalen Linie sitzt ist am selben Ort.
- Das Minkovsky Diagramm ist abhängig vom Beobachter
### Lorentz Transformation
#### Lorentz Transformation im Minkovsky Diagramm
Übertragung der obigen Resultate in Matrixschreibweise
Sei $O'$ ein zu $O$ mit $v=v_x$ bewegtes Inertialsystem:
Betrachte ein Ereignis $\mathcal E = (ct,x,y,z)$ in $O$
Wir möchten wissen wie das Ereignis in $O'$ aussieht:
$\mathcal E' = (ct',x',y',z')$
$y',z'$ bleiben gleich
$ct',x'$ werden per Zeitdillatation resp Längenkontraktion angepasst:
$t' = t\gamma - \frac{v_{x}}{c^{2}}x\gamma$
$x' = x\gamma - v_{x}t\gamma$
$\gamma^2 = \frac{1}{1-\beta^{2}}$
$4 = \frac{1}{{1-\beta^{2}}}$
$1-\beta^{2}= \frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}= \beta^{2}$
$\beta = \sqrt\frac{3}{4} \approx 0.87$
**! Achtung verwirrungsgefahr !**
$\Delta t, \Delta x$ und $\Delta t’, \Delta x‘$ sind Messungen in den jeweiligen Systemen $O$ und $O’$
Dh insb:
Das “Event” am Ende von $\Delta t$ ist im System $O’$ bei $x=0$, nicht jedoch im System $O’$.
Dh. Das “Event” am Ende von $\Delta t$ ist nicht das selbe “Event” wie am Ende von $\Delta t’$
#### Verbindung ko/kontravariant
Bei einer Koordinatentransformation ändern sich die Zahlen im Vektor, und die Basisvektoren.
Der abstrakte Vektor bleibt aber erhalten.
Was passiert nun, wenn ich eine Grösse in einem anderen Koordinatensystem aus meiner Perspektive messen möchte?
Ich verwende hier meine (Kovariante) Basis um eine (Kontravariante) Grösse zu messen.
Bsp:
Ich gebe meiner Kollegin Allice einen Doppelmeter. Alice beschleunigt sich auf $0.86 c$.
Wie lange ist der Doppelmeter?
- Gemessen im System von Alice:
- Zahlen im Vektor ändern sich Kontravariant
- Basisvektoren ändern sich Kovariant
- Grösse bleibt invariant = $2m$
- Gemessen in meinem System:
- Zahlen im Vektor ändern sich Kontravariant
- Basisvektor bleibt gleich
- Grösse entsprich “der Zahl im Vektor” -> Lorentzkontraktion
## MC
### A1:
Gruppenaufgabe:
Zeichnet den Plot von Interstellar als Minkovsky Diagramm.
Modelliert das Schwarze Loch als ein zickzack Manöver.
### Zugparadoxon (evtl nächstes Mal)
Zug der (ruhe) Länge $1km$ mit $0.86c$ fährt durch einen Tunnel der Länge $0.5km$
Was sind die Beobachtungen?
- Der Zugfahrer beobachtet einen kurzen Tunnel
- Der Zugfahrer bobachtet einen langen Tunnel
- Ein Aussenstehender betrachtet, wie der Zug vollständig im Tunnel verschwindet
- Ein Aussenstehender sieht den Zug schneller Fahren als der Zugfahrer die Landschaft vorbeiziehen sieht.
### Zugparadoxon II:
Ein Verrückter Wissenschaftler möchte zeigen, dass die Lorentzkontraktion unöglich ist. Dafür befesstigt er Guillotinenblätter am Ein- und Ausgang des Tunnels. Wenn der Zug vollständig verschwunden ist, aktiviert er für eine infinitessimale Zeit die Guillotine.
Was wird beobachtet?
- Der Zug wird geköpft :(
- Der Zug wird nicht geköpft :)
Der Zug wird nicht geköpft, da im Ruhesystem der Zug vollständig in den Tunnel passt.
### Zugparadoxon III:
Was beobachtet der Zugfahrer?
- Die Guillotine funktioniert nicht
- Zugspitze fährt in den Tunnel > Guillotine Ausgang > Zugspitze fährt aus dem Tunnel > Zugende ist vollständig im Tunnel > Guillotine Eingang
- Guillotine A > Zugspitze in Tunnel > Zugspitze Aus Tunnel > Zugende im Tunnel > Zugende aus Tunnel > Gillotine E
**b)** Wir sehen dies aus dem Minkovsky diagramm
### Zugparadoxon IV:
Die Vordere Guillotine hat eine Fehlfunktion :( und öffnet nicht mehr. Was wird beobachtet?
- Von aussen verschwindet der gesammte Zug immer noch im Tunnel
- Von aussen wird der Zug vor dem Schliessen der Guillotine gestoppt
- Von innen verschwindet der gesammte Zug im Tunnel (Beobachter steht im letzten Wagon)
- Von innen wird der Zug gestoppt vordem der letzte Wagen verschwindet
**a)** Korrekt: Das Fehlverhalten beinflusst nicht das Fassungsvermögen des Tunnels
**b)** Falsch
**c)** Korrekt: Die Information über die Kollision (die Stosswelle der Kollision) kommt erst an, wenn der ganze Zug im Tunnel ist
**d)** Falsch
### Lorentz kontraktion
### Merksätze:
- $\gamma \geq 1$
- Im eigenen System ist die Länge eines Objekts Maximal
- Im eigenen System vergeht die Zeit am schnellsten.
### Minkovsky Diagramm
Intuition für Relativität
[Geogebra](https://www.geogebra.org/m/s7xsubde)
[Intuition Video](https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=Rh0pYtQG5wI) (Must Watch!)
Eigenschaften:
- Der $\arctan$ der Steigung einer Kurve ist $v$ (Run / Rise)
- $45^{\circ}$ Linien entsprechen Licht
- Horizontale Linien sind “Gleichzeitigkeiten”. Dh. Alles was auf einer Horizontalen Linie sitzt finded (Für mich!!!) gleichzeitig statt.
- Vertikale Linien sind Orte. Dh. Alles was auf einer Vertikalen Linie sitzt ist am selben Ort.
- Das Minkovsky Diagramm ist abhängig vom Beobachter
### Lorentz Transformation
#### Lorentz Transformation im Minkovsky Diagramm
Übertragung der obigen Resultate in Matrixschreibweise
Sei $O'$ ein zu $O$ mit $v=v_x$ bewegtes Inertialsystem:
Betrachte ein Ereignis $\mathcal E = (ct,x,y,z)$ in $O$
Wir möchten wissen wie das Ereignis in $O'$ aussieht:
$\mathcal E' = (ct',x',y',z')$
$y',z'$ bleiben gleich
$ct',x'$ werden per Zeitdillatation resp Längenkontraktion angepasst:
$t' = t\gamma - \frac{v_{x}}{c^{2}}x\gamma$
$x' = x\gamma - v_{x}t\gamma$
$\gamma^2 = \frac{1}{1-\beta^{2}}$
$4 = \frac{1}{{1-\beta^{2}}}$
$1-\beta^{2}= \frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}= \beta^{2}$
$\beta = \sqrt\frac{3}{4} \approx 0.87$
**! Achtung verwirrungsgefahr !**
$\Delta t, \Delta x$ und $\Delta t’, \Delta x‘$ sind Messungen in den jeweiligen Systemen $O$ und $O’$
Dh insb:
Das “Event” am Ende von $\Delta t$ ist im System $O’$ bei $x=0$, nicht jedoch im System $O’$.
Dh. Das “Event” am Ende von $\Delta t$ ist nicht das selbe “Event” wie am Ende von $\Delta t’$
#### Verbindung ko/kontravariant
Bei einer Koordinatentransformation ändern sich die Zahlen im Vektor, und die Basisvektoren.
Der abstrakte Vektor bleibt aber erhalten.
Was passiert nun, wenn ich eine Grösse in einem anderen Koordinatensystem aus meiner Perspektive messen möchte?
Ich verwende hier meine (Kovariante) Basis um eine (Kontravariante) Grösse zu messen.
Bsp:
Ich gebe meiner Kollegin Allice einen Doppelmeter. Alice beschleunigt sich auf $0.86 c$.
Wie lange ist der Doppelmeter?
- Gemessen im System von Alice:
- Zahlen im Vektor ändern sich Kontravariant
- Basisvektoren ändern sich Kovariant
- Grösse bleibt invariant = $2m$
- Gemessen in meinem System:
- Zahlen im Vektor ändern sich Kontravariant
- Basisvektor bleibt gleich
- Grösse entsprich “der Zahl im Vektor” -> Lorentzkontraktion
## MC
### A1:
Gruppenaufgabe:
Zeichnet den Plot von Interstellar als Minkovsky Diagramm.
Modelliert das Schwarze Loch als ein zickzack Manöver.
### Zugparadoxon (evtl nächstes Mal)
Zug der (ruhe) Länge $1km$ mit $0.86c$ fährt durch einen Tunnel der Länge $0.5km$
Was sind die Beobachtungen?
- Der Zugfahrer beobachtet einen kurzen Tunnel
- Der Zugfahrer bobachtet einen langen Tunnel
- Ein Aussenstehender betrachtet, wie der Zug vollständig im Tunnel verschwindet
- Ein Aussenstehender sieht den Zug schneller Fahren als der Zugfahrer die Landschaft vorbeiziehen sieht.
### Zugparadoxon II:
Ein Verrückter Wissenschaftler möchte zeigen, dass die Lorentzkontraktion unöglich ist. Dafür befesstigt er Guillotinenblätter am Ein- und Ausgang des Tunnels. Wenn der Zug vollständig verschwunden ist, aktiviert er für eine infinitessimale Zeit die Guillotine.
Was wird beobachtet?
- Der Zug wird geköpft :(
- Der Zug wird nicht geköpft :)
### Zugparadoxon III:
Was beobachtet der Zugfahrer?
- Die Guillotine funktioniert nicht
- Zugspitze fährt in den Tunnel > Guillotine Ausgang > Zugspitze fährt aus dem Tunnel > Zugende ist vollständig im Tunnel > Guillotine Eingang
- Guillotine A > Zugspitze in Tunnel > Zugspitze Aus Tunnel > Zugende im Tunnel > Zugende aus Tunnel > Gillotine E
### Zugparadoxon IV:
Die Vordere Guillotine hat eine Fehlfunktion :( und öffnet nicht mehr. Was wird beobachtet?
- Von aussen verschwindet der gesammte Zug immer noch im Tunnel
- Von aussen wird der Zug vor dem Schliessen der Guillotine gestoppt
- Von innen verschwindet der gesammte Zug im Tunnel (Beobachter steht im letzten Wagon)
- Von innen wird der Zug gestoppt vordem der letzte Wagen verschwindet
