$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}
\newcommand{\konko}[2]{^{#1}\space_{#2}}
\newcommand{\kokon}[2]{_{#1}\space^{#2}} $
## Motivation
Diese Woche habt ihr gelernt:
- Wie wir Geschwindigkeit in SR betrachten.
- Warum $E=mc^{2}$ (meistens) falsch ist
- Wie wir stellar binaries (und Exoplaneten) beobachten können
- Warum wir Elektromagnetismus als ein Phänomen betrachten!
- Warum Atome (klassisch) nicht stabil sind!
## Korrektur Lorentz Transformation
Der Fehler den Raphael letzte Woche begangen hat ist folgender:
- Wir können nicht festsetzen das $t_{A} = t_{B}$ ist.
- Man kann dann arbiträr einen Zeitpunkt in O’ betrachten um die Distanz zu messen.
- Wir setzen also $t_{A}’ = t_{B}’ = 0$ (Wir messen instantan)
- Wir sehen sofort das $t_{A}=0$ bei der Messung
- $x_{A}$ ist dann auch $0$
- Wir könnten nun $t_{B}$ berechnen.
- Jedoch sehen wir das $x_{B}’$ nicht zeitabhängig sein kann in seinem ruhesyst. (dh alle $t_{B}$ Terme müssen sich streichen)
- Wir sehen also $x_{B}’ = \gamma d = \Delta{x}’ = \gamma \Delta x$
- $\Delta x = \frac{\Delta x’}{\gamma}$
## Repetition Unterricht
### Vierergeschwindigkeit
$v^{\mu}= \begin{pmatrix} \gamma c \\ \gamma\vec v \end{pmatrix}$
Wichtig ist hier, dass $\gamma$ hier auch von $v$ abhängt. Insb. Ist die Vierergeschwindigkeit (und damit auch die normale Geschwindigkeit) nicht additiv!
$\gamma_{v}\vec v + \gamma_{u}\vec u \neq \gamma (\vec v + \vec u)$
Statdessen transformiert sich die Vierergeschwindigkeit mit der Lorentztransformation: (Super mühsam (don’t do it))
$v^{\mu \prime} = \Lambda\konko{\mu}{\nu} v^{\nu} = \begin{pmatrix} \gamma_{u’} & -\gamma_{u’} \beta_{u’} \\ —\gamma_{u’} \beta_{u’} & \gamma_{u’} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma_{v} c \\ \gamma_{v} v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{u’}\gamma_{v}(c-\beta_{u’}v) \\ \gamma_{u’}\gamma_{v}(v-\beta_{u’}c) \end{pmatrix}$
Space
$= \frac{1}{\sqrt{(1+\beta_{u’}^{2})(1+\beta_{v}^{2})}}\frac{1}{c} \begin{pmatrix} 1- \beta_{u’}\beta_{v} \\ \beta_{v} - \beta_{u’} \end{pmatrix} = \ldots$
Die 4-Geschwindigkeit hat die schöne Eigenschaft, dass sie immer Tangential an die Weltlinie anliegt.
### Addition von Geschwindigkeiten
Da der $\gamma$ Faktor berücksichtigt werden muss müssen wir unsere Geschwindigekitsaddition neu formulieren.
#### Bonus: Rapidität und Hyperbolische Geometrie
#### Bonus: Motivation Hyperbolische Geometrie
### Invarianten
Finally können wir Ko und Kontravarianz verwenden, um einige Eigenschaften aus der SRT zu verstehen:
Kombinieren wir ein ‘Ding’ (Kontravariant) mit einem ‘Masstab’ (Kovariant) so erhalten wir ein gesamthaft unveränderliches Konstrukt (Invariant).
Beispiele dafür sind:
##### Raumzeitinterval:
$\Delta s^2 = x_{\mu}x^{\mu} = x^{\nu}g_{\nu,\mu} x^{\mu} = c^{2}t^{2}- \vec x \cdot \vec x$
Diese Grösse ist (per Konstruktion) invariant, dh in allen Inertialsystemen gleich.
Wir können $\Delta s^{2}$ als ‘Kausal abhängigkeit’ interpretieren.
- $\Delta s^{2} > 0 \implies t^{2} > \frac{|\vec x|^{2}}{c^{2}}$ (Licht hatte mehr als genügend Zeit die Distanz zu reisen-> Kausal geordnet (Die abfolge dieser Events ist für alle Klar vorgegeben))
- $\Delta s^{2} < 0$ (Licht hatte keine Zeit diese Distanz zurückzulegen -> Kausal nicht geordnet (Es gibt keine möglichkeit, dass diese Events einander beinflusst haben (Abfolge dieser Events ist nicht klar)))
- $\Delta s^{2} = 0$ (Licht hatte genau Zeit um die Distanz zurückzulegen -> Nur licht kann diese Events verbinden)
Wir nennen diese auch:
- Zeitartig
- Raumartig
- Lichtartig
##### Eigenzeit
Wir können jedem Objekt eine Zeit(differenz) zuweisen, welche wir in diesem Ruhesystem messen würden.
Aus $\Delta s^{2} = const$ sehen wir insb für $|\vec x |^{2} = 0$ (also wenn wir im Ruhesyst sind) dass $\Delta s^{2} = c^{2} \Delta \tau^{2}$
Dieses $\tau$ nennen wir die Eigenzeit. Es ist die kürzeste Zeit die wir je zwischen zwei Events sehen können. (Zeitdillatation)
##### Lichtgeschwindigkeit
$v_{\mu}v^{\mu} = c^{2}$
Wir sehen hier auch, dass der Vierergeschwindigkeits-Vektor auf $c^{2}$ normiert ist.
##### Energie:
$p_{\mu}p^{\mu} \implies E^{2} = m^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}$
### Relativistischer Dopplereffekt
Longitudinal (most useful)
$f = \sqrt\frac{(1+ \beta)}{(1-\beta)} f^\prime$
Um herauszufinden welches Vorzeichen wir verwenden folgende Daumenregeln:
- Rot hat lange Wellenlängen
- Blau hat kurze Wellenlängen
Ein Objekt, dass sich mir annähert staucht die Wellen zusammen -> Es wird Blauer -> Wellenlänge wird kürzer -> Frequenz wir höher.
Das coole am Relativistischen Dopplereffekt: Er ist vollständig Symmetrisch!
Transversal
$f = \sqrt{1-\beta^{2}}f^{\prime}$
Daumenregel:
Dieser Effekt kommt direkt von der Zeitdillatation. (Im Laborsystem vergeht die Zeit schneller -> wir sehen die Frequenz als langsamer)
Merksystem: (Zerfallsrate eines Myons ist in unserem System kleiner als in seinem eigenen)
#### Anwendung: Exoplaneten (oder stellar binaries)
#### Weitere Anwendungen:
- Radar (wir können die Geschwindigkeit des Objekts anhand des Relativistischen Dopplershifts erkennen)
- Expansion des Universums (Rotshift des Cosmischen Mikrowellen Hintergrunds (CMB) impliziert eine expansion des Universums)
- Warum wir in einem Relativistischen Raumschiff gegrillt werden: (CMB wird irgendwann zu X-Rays)
- Lasercooling. (Durch das absenden von Energetischerem Licht entlang der Bewegung, und weniger energetischem Licht entgegen der Bewegung ergibt sich eine netto Abbremsung)
- Many more!
## Elektromagnetismus
Wie transformieren sich Elektromagnetische Felder?
Am einfachsten betrachten wir ihre verursacher, elektronen
Warum ist das cool?
Wir sehen das Gleichmässig bewegte Ladung (Strom!) ein scheinbar stärkeres Feld verursacht. Es gibt also eine Zusatzkraft von Strömen, welche rein relativistischer Natur ist.
Gibt es denn sonst noch Kräfte, welche von Strömen generiert werden?
-> Magnetismus!!!
Magnetismus ist also ‘einfach’ nur Elektrostatik von bewegten Ladungen.
#### Beschleunigte Ladungen
Wenn ich Ladungen beschleunige (booste), dann ändere ich auch ihr Feld. Diese Änderung des Feldes breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und ist Elektro (magnetisch). An der Grenze dieses “Updates” gibt es einen Lichtblitz.
Die abgestrahlte Energie ist:
$P = \frac{q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon_{0} c^{3}}$
Das war damals ein riesen Schock.
Warum?
- Das Abbremsen der Elektronen in der Glühbirne konnte endlich ihre Leuchtkraft erklähren
- Atome dürften nicht existieren
- Planetenbahnen dürften nicht stabil sein im Magnetfeld der Sonne
- Elektronen könnten nicht abgebremst werden, da man ihnen dazu Energie in form von Licht zugeben müsste!
B) Das Bohrmodell verlangt konstant auf einer Kreisbahn gehaltene Elektronen, diese müssten eigentlich Energie abstrahlen und in den Kern fallen :(
## MC
### Zugparadoxon
Zug der (ruhe) Länge $1km$ mit $0.86c$ fährt durch einen Tunnel der Länge $0.5km$
Was sind die Beobachtungen?
- Der Zugfahrer beobachtet einen kurzen Tunnel
- Der Zugfahrer bobachtet einen langen Tunnel
- Ein Aussenstehender betrachtet, wie der Zug vollständig im Tunnel verschwindet
- Ein Aussenstehender sieht den Zug schneller Fahren als der Zugfahrer die Landschaft vorbeiziehen sieht.
### Zugparadoxon II:
Ein Verrückter Wissenschaftler möchte zeigen, dass die Lorentzkontraktion unöglich ist. Dafür befesstigt er Guillotinenblätter am Ein- und Ausgang des Tunnels. Wenn der Zug vollständig verschwunden ist, aktiviert er für eine infinitessimale Zeit die Guillotine.
Was wird beobachtet?
- Der Zug wird geköpft :(
- Der Zug wird nicht geköpft :)
Der Zug wird nicht geköpft, da im Ruhesystem der Zug vollständig in den Tunnel passt.
### Zugparadoxon III:
Was beobachtet der Zugfahrer?
- Die Guillotine funktioniert nicht
- Zugspitze fährt in den Tunnel > Guillotine Ausgang > Zugspitze fährt aus dem Tunnel > Zugende ist vollständig im Tunnel > Guillotine Eingang
- Guillotine A > Zugspitze in Tunnel > Zugspitze Aus Tunnel > Zugende im Tunnel > Zugende aus Tunnel > Gillotine E
**b)** Wir sehen dies aus dem Minkovsky diagramm
### Zugparadoxon IV:
Die Vordere Guillotine hat eine Fehlfunktion :( und öffnet nicht mehr. Was wird beobachtet?
- Von aussen verschwindet der gesammte Zug immer noch im Tunnel
- Von aussen wird der Zug vor dem Schliessen der Guillotine gestoppt
- Von innen verschwindet der gesammte Zug im Tunnel (Beobachter steht im letzten Wagon)
- Von innen wird der Zug gestoppt vordem der letzte Wagen verschwindet
**a)** Korrekt: Das Fehlverhalten beinflusst nicht das Fassungsvermögen des Tunnels
**b)** Falsch
**c)** Korrekt: Die Information über die Kollision (die Stosswelle der Kollision) kommt erst an, wenn der ganze Zug im Tunnel ist
**d)** Falsch
## Repetition Unterricht
### Vierergeschwindigkeit
$v^{\mu}= \begin{pmatrix} \gamma c \\ \gamma\vec v \end{pmatrix}$
Wichtig ist hier, dass $\gamma$ hier auch von $v$ abhängt. Insb. Ist die Vierergeschwindigkeit (und damit auch die normale Geschwindigkeit) nicht additiv!
$\gamma_{v}\vec v + \gamma_{u}\vec u \neq \gamma (\vec v + \vec u)$
Statdessen transformiert sich die Vierergeschwindigkeit mit der Lorentztransformation: (Super mühsam (don’t do it))
$v^{\mu \prime} = \Lambda\konko{\mu}{\nu} v^{\nu} = \begin{pmatrix} \gamma_{u’} & -\gamma_{u’} \beta_{u’} \\ —\gamma_{u’} \beta_{u’} & \gamma_{u’} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma_{v} c \\ \gamma_{v} v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{u’}\gamma_{v}(c-\beta_{u’}v) \\ \gamma_{u’}\gamma_{v}(v-\beta_{u’}c) \end{pmatrix}$
Space
$= \frac{1}{\sqrt{(1+\beta_{u’}^{2})(1+\beta_{v}^{2})}}\frac{1}{c} \begin{pmatrix} 1- \beta_{u’}\beta_{v} \\ \beta_{v} - \beta_{u’} \end{pmatrix} = \ldots$
Die 4-Geschwindigkeit hat die schöne Eigenschaft, dass sie immer Tangential an die Weltlinie anliegt.
### Addition von Geschwindigkeiten
Da der $\gamma$ Faktor berücksichtigt werden muss müssen wir unsere Geschwindigekitsaddition neu formulieren.
#### Bonus: Rapidität und Hyperbolische Geometrie
#### Bonus: Motivation Hyperbolische Geometrie
### Invarianten
Finally können wir Ko und Kontravarianz verwenden, um einige Eigenschaften aus der SRT zu verstehen:
Kombinieren wir ein ‘Ding’ (Kontravariant) mit einem ‘Masstab’ (Kovariant) so erhalten wir ein gesamthaft unveränderliches Konstrukt (Invariant).
Beispiele dafür sind:
##### Raumzeitinterval:
$\Delta s^2 = x_{\mu}x^{\mu} = x^{\nu}g_{\nu,\mu} x^{\mu} = c^{2}t^{2}- \vec x \cdot \vec x$
Diese Grösse ist (per Konstruktion) invariant, dh in allen Inertialsystemen gleich.
Wir können $\Delta s^{2}$ als ‘Kausal abhängigkeit’ interpretieren.
- $\Delta s^{2} > 0 \implies t^{2} > \frac{|\vec x|^{2}}{c^{2}}$ (Licht hatte mehr als genügend Zeit die Distanz zu reisen-> Kausal geordnet (Die abfolge dieser Events ist für alle Klar vorgegeben))
- $\Delta s^{2} < 0$ (Licht hatte keine Zeit diese Distanz zurückzulegen -> Kausal nicht geordnet (Es gibt keine möglichkeit, dass diese Events einander beinflusst haben (Abfolge dieser Events ist nicht klar)))
- $\Delta s^{2} = 0$ (Licht hatte genau Zeit um die Distanz zurückzulegen -> Nur licht kann diese Events verbinden)
Wir nennen diese auch:
- Zeitartig
- Raumartig
- Lichtartig
##### Eigenzeit
Wir können jedem Objekt eine Zeit(differenz) zuweisen, welche wir in diesem Ruhesystem messen würden.
Aus $\Delta s^{2} = const$ sehen wir insb für $|\vec x |^{2} = 0$ (also wenn wir im Ruhesyst sind) dass $\Delta s^{2} = c^{2} \Delta \tau^{2}$
Dieses $\tau$ nennen wir die Eigenzeit. Es ist die kürzeste Zeit die wir je zwischen zwei Events sehen können. (Zeitdillatation)
##### Lichtgeschwindigkeit
$v_{\mu}v^{\mu} = c^{2}$
Wir sehen hier auch, dass der Vierergeschwindigkeits-Vektor auf $c^{2}$ normiert ist.
##### Energie:
$p_{\mu}p^{\mu} \implies E^{2} = m^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}$
### Relativistischer Dopplereffekt
Longitudinal (most useful)
$f = \sqrt\frac{(1+ \beta)}{(1-\beta)} f^\prime$
Um herauszufinden welches Vorzeichen wir verwenden folgende Daumenregeln:
- Rot hat lange Wellenlängen
- Blau hat kurze Wellenlängen
Ein Objekt, dass sich mir annähert staucht die Wellen zusammen -> Es wird Blauer -> Wellenlänge wird kürzer -> Frequenz wir höher.
Das coole am Relativistischen Dopplereffekt: Er ist vollständig Symmetrisch!
Transversal
$f = \sqrt{1-\beta^{2}}f^{\prime}$
Daumenregel:
Dieser Effekt kommt direkt von der Zeitdillatation. (Im Laborsystem vergeht die Zeit schneller -> wir sehen die Frequenz als langsamer)
Merksystem: (Zerfallsrate eines Myons ist in unserem System kleiner als in seinem eigenen)
#### Anwendung: Exoplaneten (oder stellar binaries)
#### Weitere Anwendungen:
- Radar (wir können die Geschwindigkeit des Objekts anhand des Relativistischen Dopplershifts erkennen)
- Expansion des Universums (Rotshift des Cosmischen Mikrowellen Hintergrunds (CMB) impliziert eine expansion des Universums)
- Warum wir in einem Relativistischen Raumschiff gegrillt werden: (CMB wird irgendwann zu X-Rays)
- Lasercooling. (Durch das absenden von Energetischerem Licht entlang der Bewegung, und weniger energetischem Licht entgegen der Bewegung ergibt sich eine netto Abbremsung)
- Many more!
## Elektromagnetismus
Wie transformieren sich Elektromagnetische Felder?
Am einfachsten betrachten wir ihre verursacher, elektronen
Warum ist das cool?
Wir sehen das Gleichmässig bewegte Ladung (Strom!) ein scheinbar stärkeres Feld verursacht. Es gibt also eine Zusatzkraft von Strömen, welche rein relativistischer Natur ist.
Gibt es denn sonst noch Kräfte, welche von Strömen generiert werden?
-> Magnetismus!!!
Magnetismus ist also ‘einfach’ nur Elektrostatik von bewegten Ladungen.
#### Beschleunigte Ladungen
Wenn ich Ladungen beschleunige (booste), dann ändere ich auch ihr Feld. Diese Änderung des Feldes breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und ist Elektro (magnetisch). An der Grenze dieses “Updates” gibt es einen Lichtblitz.
Die abgestrahlte Energie ist:
$P = \frac{q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon_{0} c^{3}}$
Das war damals ein riesen Schock.
Warum?
- Das Abbremsen der Elektronen in der Glühbirne konnte endlich ihre Leuchtkraft erklähren
- Atome dürften nicht existieren
- Planetenbahnen dürften nicht stabil sein im Magnetfeld der Sonne
- Elektronen könnten nicht abgebremst werden, da man ihnen dazu Energie in form von Licht zugeben müsste!
## MC
### Zugparadoxon
Zug der (ruhe) Länge $1km$ mit $0.86c$ fährt durch einen Tunnel der Länge $0.5km$
Was sind die Beobachtungen?
- Der Zugfahrer beobachtet einen kurzen Tunnel
- Der Zugfahrer bobachtet einen langen Tunnel
- Ein Aussenstehender betrachtet, wie der Zug vollständig im Tunnel verschwindet
- Ein Aussenstehender sieht den Zug schneller Fahren als der Zugfahrer die Landschaft vorbeiziehen sieht.
### Zugparadoxon II:
Ein Verrückter Wissenschaftler möchte zeigen, dass die Lorentzkontraktion unöglich ist. Dafür befesstigt er Guillotinenblätter am Ein- und Ausgang des Tunnels. Wenn der Zug vollständig verschwunden ist, aktiviert er für eine infinitessimale Zeit die Guillotine.
Was wird beobachtet?
- Der Zug wird geköpft :(
- Der Zug wird nicht geköpft :)
### Zugparadoxon III:
Was beobachtet der Zugfahrer?
- Die Guillotine funktioniert nicht
- Zugspitze fährt in den Tunnel > Guillotine Ausgang > Zugspitze fährt aus dem Tunnel > Zugende ist vollständig im Tunnel > Guillotine Eingang
- Guillotine A > Zugspitze in Tunnel > Zugspitze Aus Tunnel > Zugende im Tunnel > Zugende aus Tunnel > Gillotine E
### Zugparadoxon IV:
Die Vordere Guillotine hat eine Fehlfunktion :( und öffnet nicht mehr. Was wird beobachtet?
- Von aussen verschwindet der gesammte Zug immer noch im Tunnel
- Von aussen wird der Zug vor dem Schliessen der Guillotine gestoppt
- Von innen verschwindet der gesammte Zug im Tunnel (Beobachter steht im letzten Wagon)
- Von innen wird der Zug gestoppt vordem der letzte Wagen verschwindet
