$\newcommand{\dede}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2} }
\newcommand{\dd}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\divby}[1]{\frac{1}{#1} }
\newcommand{\typing}[3][\Gamma]{#1 \vdash #2 : #3}
\newcommand{\xyz}[0]{(x,y,z)}
\newcommand{\xyzt}[0]{(x,y,z,t)}
\newcommand{\hams}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyz}
\newcommand{\hamt}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2} + \dede{^2}{y^2} + \dede{^2}{z^2}) + V\xyzt}
\newcommand{\ham}[0]{-\frac{\hbar^2}{2m}(\dede{^2}{x^2}) + V(x)}$
## Vorbereitung Serie
### A1 !
**a)** Umwandlungen der Verschiedenen Welleneigenschaften (dass solltet ihr relativ schnell können an der Prüfung)
- $k = \frac{2\pi}{\lambda}$
- $v = \frac{\omega}{k}$
- $T = \frac{2\pi}{\omega}$
- $f = \divby{T}$
**b)** Skizzieren
Zum überprüfen in Geogebra oder anderer Software
**c)** $\xi(x,t)$ bestimmen
Siehe a) und $\xi(x,t) = ?$
### A2
**a)** Experimentalphysik :)
Kreative Antworten gesucht! Kreativste Antwort (die Funktioniert) kriegt einen kleinen Preis
**b)** Fortsetzung a)
Lasst euch nicht verwirren, je nach Antwort in a) ist diese Aufgabe wirklich so einfach wie Ihr denkt.
### A3 !
Bedenkt variierende Zugspannung entlang des Seils
Evtl muss man etwas integrieren ;) (sollte auch ohne Wolframalpha gehen sonst seid ihr wohl falsch...)
### A4 !!
**a)** Aufstellen der Bewegungsgleichung:
Beachtet das alle Federn (aber insb die Feder $l$) nur in vertikaler Richtung zieht.
Dazu ein “Ersatzschaubild”
Zudem kann Gravitation vernachlässigt werden
Kleiner Tipp für die Vorzeichen:
Die eigene rücktreibende Kraft ist immer **Rück**treibend (also negativ). Dies gilt insb. auch dann wenn wir einen kombinierten Term wie $y_{1}- y_{2}$ haben.
**b)** Suche eine DGL der form $m\ddot\delta = -\kappa \delta$. Überlege dir was $\delta$ physikalisch darstellt
**c)** Analog zu b
**d)** Betrachte klevere Kombinationen aus $\delta$ und $\sigma$ (wenn du eine Interpretation für $\delta$ und $\sigma$ hast, sollte dies easy sein)
Zur Interpretation lohnt es sich noch einige Additionstheoreme zu Verwenden
$\cos(a)+\cos(b) = 2 \cos(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})$
$\cos(a)-\cos(b) = -2 \sin(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2})$
$\sin(a)\pm\sin(b) = 2 \sin(\frac{a\pm b}{2})\cos(\frac{a\mp b}{2})$
**e)** Erinnerung: Die potentielle Energie in einer Feder ist gegeben durch $\frac{1}{2}k x^{2}$. Du solltest hier die Gesamte Energie in $m_{1}$ anschauen (inkl Kinetischer Energie) (aber ohne die Energie in $l$). Nutze den Fakt, dass die Maximale potentielle Energie der gesamten Energie entspricht (wieso?)
Nutze zudem am Schluss zur Interpretation die Winkelverdopplungsformel
$$\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$$
### A5!!
**a)** Divergenz und Rot berechnen (das müsst ihr aus by heart können)
$$div(F) = \nabla \cdot F = \begin{pmatrix} \dd{}{x} \\ \dd{}{y} \\ \dd{}{z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} F_{x}\\ F_{y} \\ F_z\end{pmatrix}= \dd{}{x}F + \dd{}{y}F + \dd{}{z}F$$
$$rot(F) = \nabla \times F = \begin{pmatrix} \dd{}{x} \\ \dd{}{y} \\ \dd{}{z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} F_{x}\\ F_{y} \\ F_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dd{F_{z}}{y} - \dd{F_{y}}{z} \\ \dd{F_{x}}{z} - \dd{F_{z}}{x} \\ \dd{F_{y}}{x}-\dd{F_{x}}{y} \end{pmatrix}$$
**b)** Potential für ein VF finden
Was ist die Physikalische Bedeutung von einem Potential (von der Gravitation zum Beispiel) (Betrachte hier wie ich aus dem Gradienten des Potentials die Kraft erhalte)
Wie würde ich gegeben die Kraft an jedem Punkt des Weges die Potentialdifferenz zwischen Anfang und Ende berechnen?
Kann man das Problem Koordinatenweise lösen?
**c)** Verstehen mit welchen Grössen gerechet wird.
Vieleicht hilft es die Operationen in der Mathe-notation zu Analysieren (z.B. $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)
Zudem kann Gravitation vernachlässigt werden
Kleiner Tipp für die Vorzeichen:
Die eigene rücktreibende Kraft ist immer **Rück**treibend (also negativ). Dies gilt insb. auch dann wenn wir einen kombinierten Term wie $y_{1}- y_{2}$ haben.
**b)** Suche eine DGL der form $m\ddot\delta = -\kappa \delta$. Überlege dir was $\delta$ physikalisch darstellt
**c)** Analog zu b
**d)** Betrachte klevere Kombinationen aus $\delta$ und $\sigma$ (wenn du eine Interpretation für $\delta$ und $\sigma$ hast, sollte dies easy sein)
Zur Interpretation lohnt es sich noch einige Additionstheoreme zu Verwenden
$\cos(a)+\cos(b) = 2 \cos(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})$
$\cos(a)-\cos(b) = -2 \sin(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2})$
$\sin(a)\pm\sin(b) = 2 \sin(\frac{a\pm b}{2})\cos(\frac{a\mp b}{2})$
**e)** Erinnerung: Die potentielle Energie in einer Feder ist gegeben durch $\frac{1}{2}k x^{2}$. Du solltest hier die Gesamte Energie in $m_{1}$ anschauen (inkl Kinetischer Energie) (aber ohne die Energie in $l$). Nutze den Fakt, dass die Maximale potentielle Energie der gesamten Energie entspricht (wieso?)
Nutze zudem am Schluss zur Interpretation die Winkelverdopplungsformel
$$\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$$
### A5!!
**a)** Divergenz und Rot berechnen (das müsst ihr aus by heart können)
$$div(F) = \nabla \cdot F = \begin{pmatrix} \dd{}{x} \\ \dd{}{y} \\ \dd{}{z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} F_{x}\\ F_{y} \\ F_z\end{pmatrix}= \dd{}{x}F + \dd{}{y}F + \dd{}{z}F$$
$$rot(F) = \nabla \times F = \begin{pmatrix} \dd{}{x} \\ \dd{}{y} \\ \dd{}{z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} F_{x}\\ F_{y} \\ F_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dd{F_{z}}{y} - \dd{F_{y}}{z} \\ \dd{F_{x}}{z} - \dd{F_{z}}{x} \\ \dd{F_{y}}{x}-\dd{F_{x}}{y} \end{pmatrix}$$
**b)** Potential für ein VF finden
Was ist die Physikalische Bedeutung von einem Potential (von der Gravitation zum Beispiel) (Betrachte hier wie ich aus dem Gradienten des Potentials die Kraft erhalte)
Wie würde ich gegeben die Kraft an jedem Punkt des Weges die Potentialdifferenz zwischen Anfang und Ende berechnen?
Kann man das Problem Koordinatenweise lösen?
**c)** Verstehen mit welchen Grössen gerechet wird.
Vieleicht hilft es die Operationen in der Mathe-notation zu Analysieren (z.B. $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)